Analytische Zahlentheorie

Die analytische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, welche wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist.

Die analytische Zahlentheorie verwendet Methoden der Analysis und der Funktionentheorie. Inhaltlich befasst sie sich vorwiegend mit der Bestimmung der Anzahl aller Zahlen unterhalb einer gegebenen Schranke, die eine bestimmte Eigenschaft haben, sowie mit der Abschätzung von Summen zahlentheoretischer Funktionen.

Inhaltsverzeichnis

Teilgebiete und typische Probleme

Theorie der Dirichletreihen

Zu einer Summe

\sum_{n \leq x} f(n),

die man untersuchen möchte, betrachtet man die von der zahlentheoretischen Funktion f erzeugte Dirichletreihe

F(s):= \sum_{n=1}^{\infty} f(n) n^{-s}.

Oft lässt sich die Summe näherungsweise als Integral über F(s) ausdrücken (durch eine inverse Mellin-Transformation), oder man erhält ihren Grenzwert für x gegen unendlich als Grenzwert von F(s) für s gegen 0 durch einen Taubersatz. Daher bildet die Untersuchung von Dirichletreihen und ihren Verallgemeinerungen (z.B. der Hurwitzschen Zetafunktion) ein Teilgebiet der Zahlentheorie.

Multiplikative Zahlentheorie

Insbesondere führt die Betrachtung des Falls f = 1 und der zugehörigen Dirichletreihe (der Riemannschen Zetafunktion) zum Primzahlsatz, der die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegeben Schranke angibt. Die Untersuchung des Fehlerterms ist ein offenes Problem, da die Lage der Nullstellen der Zetafunktion unbekannt ist (Riemannsche Vermutung). Ähnliche Methoden sind auch auf andere multiplikative Funktionen anwendbar und ergeben Aussagen über deren Werteverteilung (zum Beispiel über die Häufigkeit von abundanten Zahlen).

Theorie der Charaktere

Wichtige multiplikative Funktionen sind die sogenannten Charaktere; sie werden benötigt, falls nur Zahlen in bestimmten Restklassen gezählt bzw. darüber summiert werden soll. So kann man zum Beispiel nachweisen, dass je ein Viertel aller Primzahlen als letzte Dezimalstelle eine 1, 3, 7 bzw. 9 haben, für Details siehe Dirichletscher Primzahlsatz. Auch für Charaktere stellt die Bestimmung der Nullstellen der zugehörigen Dirichletreihen (L-Reihen) ein großes ungelöstes Problem dar. (→ Siehe Verallgemeinerte Riemannvermutung).

Daneben werden unterschiedliche Summen von n-ten, komplexen Einheitswurzeln untersucht: Charaktersummen, speziell Ramanujansummen. Die Theorie solcher Summen wird inzwischen als selbständiges Teilgebiet angesehen.

Additive Zahlentheorie

Die additive Zahlentheorie beschäftigt sich mit der Darstellung von Zahlen als Summen. Ältestes Teilgebiet ist die Theorie der Partitionen. Berühmte Probleme sind das Waringsche Problem (Darstellung einer ganzen Zahl als Summe von Quadraten, Kuben etc.) und die Goldbachsche Vermutung (Kann jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden?). Mit letzterer nahe verwandt ist die Vermutung über die Primzahlzwillinge (Gibt es unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand 2?).

Diophantische Approximation und transzendente Zahlen

Daneben dienen Methoden der analytischen Zahlentheorie auch dazu, die Transzendenz von Zahlen wie der Kreiszahl π oder der Eulerschen Zahl e nachzuweisen. Traditionell verwandt ist das Gebiet der diophantischen Approximation: irrationale Zahlen, die sich gut durch rationale Zahlen mit kleinem Nenner annähern lassen (Liouville-Zahl), bilden die älteste bekannte Klasse von transzendenten Zahlen.

Anwendungen

Die klassischen Fragen des Gebiets sind nicht aus einem praktischen Bedürfnis heraus gestellt worden. In neuerer Zeit spielen Ergebnisse der analytischen Zahlentheorie eine Rolle bei der Analyse von Algorithmen (Primzahltests, Faktorisierungsalgorithmen, Zufallsgeneratoren).

Literatur

  • Einführung in die analytische Zahlentheorie von Jörg Brüdern, Springer 1995, 238 S., ISBN 3-540-58821-3

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • analytische Zahlentheorie — analytische Zahlentheorie,   Anwendung der Methoden der Analysis in der Zahlentheorie. Insbesondere hat man mithilfe der Theorie der Funktionen reeller Variabler und der Theorie der analytischen Funktionen in der Zahlentheorie neue Erkenntnisse… …   Universal-Lexikon

  • Zahlentheorie — Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie – eine Verallgemeinerung der Arithmetik …   Deutsch Wikipedia

  • Zahlentheorie — Zah|len|the|o|rie 〈f. 19; unz.〉 Teilgebiet der Arithmetik, das die Eigenschaften der Zahlen 1, 2, 3 ... untersucht, wenn sie mithilfe der vier Grundrechenarten miteinander verknüpft werden * * * Zah|len|the|o|rie, die (Math.): Teilgebiet der… …   Universal-Lexikon

  • Elementare Zahlentheorie — Ursprünglich ist die Zahlentheorie (auch: Arithmetik) ein Teilgebiet der Mathematik, das sich allgemein mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen und insbesondere mit den Lösungen von Gleichungen in den ganzen Zahlen (Diophantische Gleichung)… …   Deutsch Wikipedia

  • Carl Ludwig Siegel — in Göttingen, 1975 Carl Ludwig Siegel (* 31. Dezember 1896 in Berlin; † 4. April 1981 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker; sein Spezialgebiet war die Zahlentheorie. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhu …   Deutsch Wikipedia

  • Teilgebiet der Mathematik — Dieser Artikel ergänzt den Hauptartikel Mathematik und die Portalseite Mathematik. Er dient dazu, einen Überblick über die Teilgebiete der Mathematik zu geben (siehe auch Höhere Mathematik). Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge… …   Deutsch Wikipedia

  • Zweig der Mathematik — Dieser Artikel ergänzt den Hauptartikel Mathematik und die Portalseite Mathematik. Er dient dazu, einen Überblick über die Teilgebiete der Mathematik zu geben (siehe auch Höhere Mathematik). Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge… …   Deutsch Wikipedia

  • Paul Bachmann (Mathematiker) — Paul Gustav Heinrich Bachm …   Deutsch Wikipedia

  • Liste mathematischer Konstanten — Eine mathematische Konstante ist eine fest definierte spezielle reelle oder komplexe Zahl, die sich auf natürliche Weise in der Mathematik ergibt. Anders als physikalische Konstanten werden mathematische Konstanten unabhängig von jedem… …   Deutsch Wikipedia

  • Mathematische Konstanten — Eine mathematische Konstante ist eine fest definierte spezielle reelle oder komplexe Zahl, die sich auf natürliche Weise in der Mathematik ergibt. Anders als physikalische Konstanten werden mathematische Konstanten unabhängig von jedem… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”