K-Funktion

Die K-Funktion ist in der Mathematik eine spezielle Funktion, die üblicherweise mit K(z) bezeichnet wird. Sie verallgemeinert die Hyperfakultät H(n) auf die komplexen Zahlen.

Die Hyperfakultät einer natürlichen Zahl n ist definiert durch

$H(n)=\prod_{i=1}^n i^i = 1^12^23^34^4\cdots n^n, \qquad n\in\N.$^[1]

Für die K-Funktion soll nun gelten

$K(n+1)=H(n), \qquad n\in\N,$

und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.

Definitionen

Eine mögliche Definition der K-Funktion lautet:

$K(z)=(2\pi)^{(-z+1)/2} \exp\left[\binom z2+\int\limits_0^{z-1} \ln(\Gamma(t+1))\;\mathrm dt\right],$

wobei $\tbinom z2$ für die komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.

Eine andere Möglichkeit bietet

$K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right],$

wobei ζ(z) für die riemannsche Zetafunktion und ζ(a,z) für die hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)

Die Verwandtschaft der K-Funktion zur Gammafunktion und der barnesschen G-Funktion wird durch die Formel

$K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}$

zum Ausdruck gebracht.

Werte

Für natürliche n stimmen die Werte K(n) der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert H(n − 1) der Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (Folge A002109 in OEIS).

Der Wert $K(\tfrac12 )$ ist explizit gegeben durch

$K(\tfrac12 )=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}$^[1]

wobei A für die Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.

Weitere Zusammenhänge

Mit der barnesschen G-Funktion G(z) gilt

$K(z)\cdot G(z)=\exp\{(z-1)\cdot \log [\Gamma (z)]\},$^[1]

für alle $z\in\C.$

Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:

$\frac{1}{K(n)} = (-1)^n \mbox{det} \begin{vmatrix} -1&-1&-1&\cdots&-1\\ {1\over 2}&{1\over 4}&{1\over 8}&\cdots&{1\over 2^n}\\ -{1\over 3}&-{1\over 9}&-{1\over 27}&\cdots&-{1\over 3^n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {(-1)^n\over n}&{(-1)^n\over n^2}&{(-1)^n\over n^3}&\cdots&{(-1)^n\over n^n}\\ \end{vmatrix}$.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c} Eric W. Weisstein: Hyperfactorial. In: MathWorld. (englisch)

Literatur

• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 (online)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: K-Funktion. In: MathWorld. (englisch)