Andreas Floer
Andreas Floer 1986 in Bochum

Andreas Floer [fløːɐ] (* 23. August 1956 in Duisburg; † 15. Mai 1991 in Bochum durch Suizid) war ein deutscher Mathematiker, der wichtige Beiträge zur (symplektischen) Topologie, Differentialgeometrie und mathematischen Physik leistete. Er entwickelte die heute so genannte Floer-Homologie, die sich als wichtiges mathematisches Instrument bewährt hat.

Inhaltsverzeichnis

Leben und Werk

Floer studierte an der Ruhr-Universität Bochum Mathematik und erhielt sein Diplom 1982. Danach ging er an die Universität von Berkeley in Kalifornien, wo er über Monopole (in Yang-Mills-Theorien) auf dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten mit Alan Weinstein und Clifford Taubes arbeitete. Die Promotion wurde durch die Ableistung des Wehr-Ersatzdienstes unterbrochen, und er erhielt erst 1984 in Bochum bei Eduard Zehnder seinen Doktor, mit einer neuen Arbeit.

Floer bewies in seiner Bochumer Dissertation einen Spezialfall (für Abbildungen nahe der Identität) von Arnolds Vermutung über die Fixpunkte von symplektischen Abbildungen (Symplektomorphismen) einer symplektischen Mannigfaltigkeit. Mit dem Teilbeweis von Arnolds Vermutung und mit seiner Entwicklung der Floer-Homologie ab 1985 in Seminaren in Berkeley erregte er große Aufmerksamkeit und hielt eine der Plenar-Ansprachen auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Kyoto 1990 (Elliptic methods in variational problems). Die Topologie niedrigdimensionaler Mannigfaltigkeiten ist notorisch schwierig - wie der Fall der Poincaré-Vermutung zeigt, die in den höher dimensionalen Fällen schon 1960 von Stephen Smale bewiesen wurde, im vierdimensionalen Fall erst durch Michael Freedman um 1984 und im dreidimensionalen Fall 2002 von Grigori Perelman bewiesen wurde. Die Floer-Homologien (es gibt verschiedene) sind heute ein verbreitetes Werkzeug in der Topologie und Differentialgeometrie speziell niedriger Dimensionen.

1986 war Floer in an der Stony Brook University in New York, danach am Courant Institut. 1988 wurde er Assistenzprofessor für Mathematik in Berkeley, was 1990 zu einer vollen Professur wurde. 1990 wurde er auch Mathematik-Professor in Bochum. 1991 wählte er überraschend den Freitod.

Seine Theorie hat auch Anwendungen in der Quantenfeldtheorie (z.B. Seiberg-Witten-Theorie), wie auch umgekehrt von dort, insbesondere in Arbeiten von Edward Witten, neue Methoden in die Differentialgeometrie einflossen, speziell in der Klassifikation der differenzierbaren Strukturen auf vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten in den Arbeiten von Simon Donaldson (Eichtheorien und Instantonen). Hier besteht eine Analogie zwischen den Instantonen, die auf vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten das Yang-Mills-Funktional (die "Energie") minimalisieren und holomorphen Abbildungen von Riemannflächen in solche symplektische Mannigfaltigkeiten, auf denen "fast komplexe" Strukturen definiert werden können.

Vor seinem Tod hatte Floer noch Arbeiten über die Anwendung seiner Theorie in der Differentialtopologie (Zerschneidung von Mannigfaltigkeiten, "Chirurgie", engl. surgery) und in der Untersuchung von Knoten in drei Dimensionen geschrieben. Eine ganze Serie weiterer erst posthum von den Koautoren bis Mitte der 1990er Jahre veröffentlichter Aufsätze zeugt davon, dass sich um ihn schon eine "Schule" gebildet hatte.

Zitate

"Andreas Floer's life was tragically interrupted, but his mathematical visions and striking contributions have provided powerful methods which are being applied to problems which seemed to be intractable only a few years ago." [1]

(dt.: „Andreas Floers Leben wurde auf tragische Weise abgebrochen, aber seine mathematischen Einsichten und herausragenden Beiträge haben kraftvolle Werkzeuge geliefert, die auf Probleme angewendet werden, welche noch vor einigen Jahren unlösbar schienen.“)

Simon Donaldson wrote: "The concept of Floer homology is one of the most striking developments in differential geometry over the past 20 years. ... The ideas have led to great advances in the areas of low-dimensional topology and symplectic geometry and are intimately related to developments in Quantum Field Theory" [2] and "the full richness of Floer's theory is only beginning to be explored".[3]

(dt.: Simon Donaldson schrieb: „Der Entwurf der Floer Homologie ist eine der bedeutendsten Entwicklungen im Bereich der Differentialgeometrie innerhalb der letzten zwanzig Jahre. … Die Ideen haben zu großen Fortschritten auf den Gebieten der niedrigdimensionalen Topologie und der symplektischen Geometrie geführt; sie sind aufs engste verbunden mit Entwicklungen in der Quantenfeldtheorie“ und er schrieb: „Die Erforschung der ganzen Reichhaltigkeit und Fülle von Floers Theorie hat gerade erst begonnen.“)

"Since its introduction by Andreas Floer in the late nineteen eighties, Floer theory has had a tremendous influence on many branches of mathematics including geometry, topology and dynamical systems. The development of new Floer theoretic tools continues at a remarkable pace and underlies many of the recent breakthroughs in these diverse fields." [4]

(dt.: Seit Andreas Floer sie in den späten Achtziger Jahren einführte, hat die Floer-Theorie einen gewaltigen Einfluss auf viele Zweige der Mathematik, wie Geometrie, Topologie und Dynamische Systeme gehabt. Die Entwicklung neuer auf der Floer-Theorie basierender Werkzeuge schreitet in erstaunlichem Tempo voran und ist die Grundlage vieler neuer Erkenntnisse in diesen verschiedenen Mathematik-Zweigen.)

Schriften

  • Monopoles on asymptotically euclidean 3-manifolds, Bulletin American Mathematical Society, Bd.16, 1987, S.125-127 (die ursprünglich in den USA geplante Dissertation)
  • Proof of the Arnold conjecture for surfaces and generalizations for certain Kähler-Manifolds, Duke Mathematical Journal Bd.53, 1981, S.1-32 (seine Dissertation)
  • mit Eduard Zehnder Morse theory of fixed points of symplectic diffeomorphisms, Bulletin of the American Mathematical Society 1987
  • An instanton-invariant for 3-manifolds, Communications in Mathematical Physics, Bd.118, 1988, S.215–240.
  • Morse theory for Lagrangian intersections, J. Differential Geometry, Bd. 28, 1988, S.513–547.
  • Cuplength estimates on Lagrangian intersections, Comm. Pure Appl. Math., Bd. 42, 1989, S.335–356.
  • Wittens complex and infinite dimensional Morse theory, Journal Differential Geometry Bd.30, 1989, S.207-221 (Witten hatte in einer aufsehenerregenden Arbeit 1982 die Morsetheorie aus der supersymmetrischen Quantenmechanik gewonnen)
  • Elliptic methods in variational problems, International Congress of Mathematicians, Kyoto 1990
  • Self dual conformal structures on lCP2, Journal Differential Geometry, Bd.33, 1991, S.551-574
  • Instanton homology and Dehn surgery, in "Floer memorial volume" 1995
  • mit Helmut Hofer Coherent orientation for periodic orbit problems in symplectic geometry, Math. Zeitschrift Bd. 212, 1993, S.13–38
  • dies. Symplectic homology I: Open sets in Cn, Math. Zeitschrift Bd. 215, 1994, S. 37–88
  • mit Hofer, Wysocki Applications of symplectic homology I, Math. Zeitschrift, Bd. 217, 1994, S.577–606
  • mit Hofer, Cieliebak Symplectic homology II: A General Construction, Math. Zeitschrift Bd.218, 1995, S.103–122
  • mit Hofer, Cieliebak, Wysocki Applications of symplectic homology II, Math. Zeitschrift, Bd.223, 1996, S.27–45,
  • mit Hofer, Salamon Transversality results in the elliptic Morse theory of the action functional, Duke Mathematical Journal, Bd. 80, 1995, 251–292, online hier: http://www.math.nyu.edu/~hofer/publications/trans.ps

Literatur

  • Hofer, Taubes, Weinstein, Zehnder (Hrsg.) The Floer Memorial Volume, Progress in Mathematics, vol. 133, Birkhauser Verlag, 1995.
  • dies., Nachruf Notices American Mathematical Society, August 1991
  • Simon Donaldson, M.Furuta, Dieter Kotschick Floer Homology Groups in Yang-Mills Theory, Cambridge Tracts in Mathematics, Bd.147. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-80803-0
  • ders., P.Braam Floers work on instanton homology, knots and surgery, in "Floer memorial volume" 1995

Weblinks

 Commons: Andreas Floer – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Hofer, Weinstein, and Zehnder, Andreas Floer: 1956-1991, Notices Amer. Math. Soc. 38 (8) , 910-911
  2. Simon Donaldson, Floer Homology Groups in Yang-Mills Theory, With the assistance of M. Furuta and D. Kotschick. Cambridge Tracts in Mathematics, 147. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. viii+236 pp. ISBN 0-521-80803-0 (The above citation is from the front flap.)
  3. Mathematics: frontiers and perspectives. Edited by V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax and B. Mazur. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. xii+459 pp. ISBN 0-8218-2070-2 (Amazon search)
  4. From the Press Release to the Workshop: New Applications and Generalizations of Floer Theory of the Banff International Research Station (BIRS) 2007 5 Day Workshop: New Applications and Generalizations of Floer Theory | Banff International Research Station

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