Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik; wenn sie gilt, so können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz gehorchen, nennt man kommutativ.

Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und Distributivgesetz grundlegende Regeln der Algebra.

Formale Definition

Es seien A und X Mengen.

Allgemeiner Fall

Eine n-stellige Funktion $f\colon A^n\to X$ heißt kommutativ, wenn für alle $a_1,\dots,a_n\in A$ und alle Permutationen $\left(\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(n)\right)$ der Indizes $(1,2,\dots,n)$ die Gleichheit

$f(a_1,a_2,\ldots,a_n) = f(a_{\sigma(1)},a_{\sigma(2)},\dots, a_{\sigma(n)})$

gilt.

Spezialfall zweistellige Operation

Eine zweistellige Funktion $*: A\times A\to X,\; (a,b)\mapsto a*b$ heißt kommutativ, wenn für alle $a,b\in A$ die Gleichheit a * b = b * a gilt.

Beispiele und Gegenbeispiele von zweistellige Operation

Reelle Zahlen

Für reelle Zahlen $a,b\in\R$ gilt stets

$a\,+\,b\,=\,b\,+\,a$   und   $a \cdot b = b \cdot a$   ,

die Operationen Addition und Multiplikation sind also kommutativ. Die erste Formel wird auch Kommutativgesetz der Addition, die zweite Kommutativgesetz der Multiplikation genannt. Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen sind dagegen nicht kommutative Operationen. Auch die Potenzierung ist nicht kommutativ (Beispiel: $2^3 \neq 3^2$)

Die älteste überlieferte Form des Kommutativgesetzes der Addition ist die sumerische Fabel vom klugen Wolf und den neun dummen Wölfen.

Skalarprodukte

• Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ, es gilt also stets $\langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle$.
• Das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum ist dagegen nicht kommutativ, es gilt vielmehr $\langle a,b\rangle = \overline{\langle b,a\rangle}$, wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bezeichnet.

Mengenoperation

In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Schnitt kommutative Operationen; für Mengen A,B gilt also stets

$A\cup B = B\cup A$   (Vereinigung) und   $A\cap B = B\cap A$ (Schnitt).

Dagegen ist die Differenz nicht kommutativ, in nichttrivialen Fällen (d. h. wenn $A\neq B$ und $A\cup B\neq\empty$) sind also $A\setminus B$ und $B\setminus A$ verschiedene Mengen.

Matrizenrechnung

Die Addition von Matrizen über einem Ring oder Körper ist kommutativ. Die Matrizenmultiplikation ist dagegen im Allgemeinen nicht kommutativ. Für das Produkt einer quadratischen Matrix A mit deren inverser Matrix (ergibt die Einheitsmatrix) ist die Kommutativität der Multiplikation jedoch gegeben, ebenso für die Multiplikation einer beliebigen (quadratischen) Matrix mit der Einheitsmatrix. Ebenfalls kommutativ ist die Multiplikation einer (beliebigen) Matrix mit einem Skalar, sowie die Multiplikation im Unterring der Diagonalmatrizen.

Eine Gruppe von Matrizen, die bezüglich der Multiplikation vertauschbar sind, nennt man abelsch.

Aussagenlogik

In der Aussagenlogik sind beispielsweise die Junktoren $\vee$ („oder“) und $\and$ („und“) sowie die logische Äquivalenz kommutativ, die Implikation hingegen nicht .

Weitere Beispiele

Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind das Kreuzprodukt in Vektorräumen oder die Multiplikation von Quaternionen.

Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Gruppentheorie und Quantenmechanik.

Beispiele und Gegenbeispiele für den allgemeinen Fall

Kommutative und assoziative Operation

Für eine zweistellige Funktion $*: A\times A\to A,\; (a,b)\mapsto a*b$, die kommutativ und assoziativ ist, ist auch die n-stellige Funktion

$f\colon A^n\to A,\; (a_1,a_2,\dots,a_{n-1},a_n)\mapsto a_1*(a_2*(\dots (a_{n-1}*a_n)\dots))$

kommutativ.

Symmetrische Polynome

Ein wichtiges Beispiel kommutativer Funktionen sind die symmetrischen Polynome.

Statistische Kenngrößen

Viele statistische Kenngrößen wie z.B. der arithmetische Mittelwert

$\R^n\to \R,\; (a_1,a_2,\dots,a_{n-1},a_n)\mapsto \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n a_j$,

der Median, Quantile und der Modus sind kommutativ.

Projektion

Ein einfaches Beispiel einer nichktkommutativen Funktion ist die Projektion auf die k-te Komponente:

$P_k\colon A^n\to A,\; (a_1,a_2,\dots,a_{n-1},a_n)\mapsto a_k$.

Gleitender Mittelwert

Der gleitende Mittelwert, beispielsweise der Ordnung 3,

$\R^n\to \R^{n-2},\; (a_1,a_2,\dots,a_{n-1},a_n)\mapsto \left(\frac{a_1+a_2+a_3}{3},\frac{a_2+a_3+a_4}{3}, \dots, \frac{a_{n-2}+a_{n-1}+a_n}{3}\right)$

ist ebenfalls keine kommutative Funktion.

Antikommutativität

In einigen Strukturen mit zwei Operationen, beispielsweise beim Kreuzprodukt in Vektorräumen, gilt nicht das Kommutativgesetz, sondern stattdessen eine Art Gegenteil davon:

$\displaystyle a * b = - b * a$

Antikommutativität gibt es auch im Fall von mehrstelligen Funktionen, beispielsweise ist das Spatprodukt oder allgemein eine Determinante als Funktion der Zeilen bzw. der Spalten antikommutativ.

Anmerkungen

Symmetrische Relation

Die Kommutativität, die das Vertauschen von Argumenten bei einer Operation erlaubt, weist Ähnlichkeit mit der Symmetrie-Eigenschaft von Relationen auf, welche einfach ausgedrückt das Vertauschen der verglichenen Elemente bzgl. der Relation erlaubt, z. B. folgt dann aus x R y stets y R x.

Flexibilitätsgesetz

Eine alternative Möglichkeit des „Um-Klammerns“ bietet das Flexibilitätsgesetz für eine Verknüpfung *

$a * \left( b * a \right) = \left( a * b \right) * a$

Literatur

• Otto Forster: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen (Analysis; Bd. 1). 10. Aufl. Verlag Vieweg & Teubner, Braunschweig 2011, ISBN 978-3-8348-1251-3.