Anharmonischer Oszillator

Der anharmonische Oszillator ist ein Modell in der Quantenmechanik, das durch Einsetzen eines bestimmten Potentials, z. B. Morse-Potential, in den Hamiltonoperator entsteht.

Es ist ein Approximationsverfahren zur Lösung vieler verschiedener zeitunabhängiger quantenmechanischer Probleme. Durch die Taylorentwicklung komplizierterer – mit analytischen Mitteln unlösbarer – Potentiale um ein Minimum herum, zu einer der folgenden Formen Hi, lassen sich diese Probleme auf ein System reduzieren, für das die Energieeigenwerte bekannt sind.

Beispiele für anharmonische Oszillatoren sind durch folgende Hamiltonoperatoren gegeben:

  •  H_1 = {p^2 \over 2m} + {1\over 2} k x^2 + {1\over 2} k' x^2
  •  H_2 = {p^2 \over 2m} + {1\over 2} k x^2 + a x^3 + b x^4

Hierbei entsprechen die ersten beiden Summanden jeder Formel dem Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators.

Der Terminus „Anharmonischer Oszillator“ wird gewöhnlich nur für diese Hamiltonoperatoren verwendet, für die geschlossene Lösungen existieren. Damit eine Taylorentwicklung möglich ist, müssen die in den obigen Formeln auftretenden Konstanten höherer Ordnung klein gegenüber k sein.

Für H1 sind die Energieeigenwerte:

E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right ) \left ( 1 + \frac{k'}{k} \right )^{\frac{1}{2}}

Die ersten Terme der Taylorreihe von En lauten

E^{(1)}_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right ) \left (  \frac{k'}{2k} \right )
E^{(2)}_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right ) \left ( - \frac{k'^2}{8k^2} \right )

weil

\left [ 1 + \left ( \frac{k'}{k} \right ) \right ]^{\frac{1}{2}}  = 1 + {1\over 2}{k'\over k} -  {1\over 8}{k'^2\over k^2} + \cdots

für kleine {k'\over k}.

Siehe auch


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