Königslemma

Das Lemma von König oder Königslemma ist ein Theorem der Graphentheorie von Dénes Kőnig (1936). Die Berechenbarkeit des Lemmas wurde gründlich in der Mathematischen Logik erforscht. Dénes Kőnig wird korrekterweise mit Doppelakut geschrieben. Das nach ihm benannte Lemma wird aber üblicherweise mit einem Umlaut geschrieben.

Aussage des Lemmas

Sei G ein zusammenhängender Graph mit unendlich vielen Knoten, so dass jeder Knoten endlichen Grad hat. D.h. jeder Knoten ist zu nur endlich vielen anderen Knoten adjazent. Dann ist jeder Knoten von G Teil eines unendlich langen Pfades, auf welchem ein Knoten höchstens ein Mal besucht wird.

Ein gebräuchlicher Spezialfall ist, dass jeder Baum mit unendlich vielen Knoten endlichen Grades einen unendlichen Pfad besitzt.

Zu beachten ist, dass der Knotengrad endlich, allerdings nicht beschränkt sein muss. Es ist möglich einen Knoten mit Grad 10, einen mit Grad 100, den dritten mit Grad 1000, usw. zu haben.

Beweis

Angenommen der Graph ist zusammenhängend und besitze unendlich viele Knoten v_i.

Angefangen mit einem beliebigen Knoten v₁ kann jeder Knoten von G vom Knoten v₁ aus durch einen Pfad erreicht werden. Ein solcher Pfad muss an einem der endlich vielen zu v₁ adjazenten Knoten beginnen. Es muss einen der adjazenten Knoten geben, durch den unendlich viele Knoten erreicht werden können. Gäbe es keinen solchen Knoten, dann wäre der gesamte Graph eine Vereinigung von endlich vielen endlichen Knotenmegen und stände daher im Widerspruch zur Annahme des unendlichen Graphen.

Sei v₂ einer dieser Knoten. Damit können unendlich viele Knoten aus G von v₂ aus durch einen Pfad erreicht werden, der nicht v₁ enthält. Jeder solche Pfad muss an einem der endlich vielen zu v₂ adjazenten Knoten beginnen. Ein ähnliches Argument wie oben zeigt uns, dass es einen adjazenten Knoten geben muss, durch den unendlich viele Knoten erreicht werden können; sei dieser v₃.

Auf diese Art und Weise kann induktiv ein unendlicher Pfad konstruiert werden. Bei jedem Schritt besagt die Induktionsvoraussetzung, dass es unendlich viele Knoten gibt, die mittels eines Pfades von v_i aus erreicht werden können. Wobei dieser Pfad eine endliche Menge von Knoten nicht enthalten darf. Der Induktionsschritt wird mit dem Argument vollzogen, dass einer der zu v_i adjazenten Knoten die Induktionsvoraussetzung erfüllt, selbst wenn v_i zu jener endlichen Menge gehört.

Dieser Beweis gilt als nicht konstruktiv, weil bei jedem Schritt ein Beweis durch Widerspruch geschieht, um zu zeigen, dass es einen adjazenten Knoten gibt, von dem aus unendlich viele andere Knoten erreicht werden können. Rechnerische Analysen deuten darauf hin, dass es keinen konstruktiven Beweis gibt.

Berechenbarkeit

Die Berechenbarkeit des Lemmas von König wurde gründlich erforscht. Die Formulierung des Lemmas, nämlich dass jeder unendliche, endlich verzweigte Teilbaum von $\omega^{<\omega}\,$ einen unendlichen Pfad hat, ist für diesen Zweck sehr günstig. ω steht hier für eine Menge natürlicher Zahlen, wobei $\omega^{<\omega}\,$ die kanonische Aufzählung aller endlichen, nach Zwischenergebnis sortierten Folgen von natürlichen Zahlen ist. Jede endliche Folge kann mittels einer partiellen Funktion von ω in sich selbst bestimmt werden. Jeder unendliche Pfad kann mit einer totalen Funktion bestimmt werden. Daher ist die Analyse mit Hilfe der Berechenbarkeitstheorie möglich.

Ein Teilbaum von $\omega^{<\omega}\,$, in dem jede Folge nur endlich viele direkte Nachfolger hat, d.h. der entsprechende Baum hat endlichen Grad an allen Knoten, heißt endlich verzweigt. Nicht jeder unendliche Teilbaum von $\omega^{<\omega}\,$ besitzt einen unendlichen Pfad, aber das Lemma zeigt, dass jeder endlich verzweigte Teilbaum einen unendlichen Pfad haben muss.

Für alle Teilbäume T von $\omega^{<\omega}\,$ bezeichnet die Notation Ext(T) die Menge an Knoten von T, durch die ein unendlicher Pfad führt. Selbst wenn T berechenbar ist, ist Ext(T) nicht zwangsläufig berechenbar. Jeder Teilbaum T von $\omega^{<\omega}\,$, der einen unendlichen Pfad hat, hat auch einen unendlichen Pfad, der aus Ext(T) berechenbar ist.

Es existieren endlich verzweigte, berechenbare Teilbäume von $\omega^{<\omega}\,$, die keinen arithmetischen und keinen hyperarithmetischen Pfad haben. Jeder berechenbare Teilbaum von $\omega^{<\omega}\,$ mit Pfad muss einen Pfad haben, der von Kleenes O, der $\Pi^1_1$ vollständigen Menge, berechenbar ist. Das liegt daran dass die Menge Ext(T) immer $\Sigma^1_1$ ist und T somit berechenbar ist.

Eine genauere Analyse wurde für berechenbare beschränkte Bäume durchgeführt. Ein Teilbaum von $\omega^{<\omega}\,$ heißt berechenbar beschränkt oder rekursiv beschränkt, wenn es eine berechenbare Funktion f von ω nach ω gibt, so dass für alle n es keine Folge im Baum gibt, dessen n-tes Element größer als f(n) ist. Somit gibt f eine Schranke für die "Breite" des Baums an. Die folgenden Basissätze gelten für unendliche berechenbar beschränkte, endlich verzweigte berechenbare Teilbäume von $\omega^{< \omega}\,$.

• Jeder solche Baum hat einen berechenbaren Pfad von 0', der kanonischen und Turing-vollständigen Menge, die das Halteproblem entscheiden kann.
• Jeder solche Baum hat einen niedrigen Pfad. D.h. der Turing-Sprungoperator des Pfades hat denselben Turing-Grad wie das Halteproblem.
• Jeder solche Baum hat einen Pfad, der hyperimmun frei ist. D.h. jede vom Pfad aus berechenbare Funktion wird durch eine berechenbare Funktion dominiert.
• Für alle nicht berechenbaren Teilmengen X von ω hat der Baum einen Pfad, der X nicht berechnet.

Eine schwächere Form des Lemmas von König wird bei der Definition des Subsystems $\operatorname{WKL}_0$ der Arithmetik zweiter Ordnung benutzt. Dieses Subsystem hat eine wichtige Rolle in der Umgekehrten Mathematik.

Beziehung zur konstruktiven Mathematik und Kompaktheit

Das Fan Theorem von Brouwer ist vom klassischen Standpunkt her Gegenposition des Lemmas von König. Eine Teilmenge S von $\{0,1\}^{<\omega}\,$ heißt Bar, wenn jede Funktion von ω in die Menge {0,1} ein erstes Segment in S besitzt. Ein Bar heißt lösbar, wenn jede Folge entweder im Bar oder nicht im Bar liegt. Diese Prämisse ist notwendig. Ein Bar ist uniform, wenn es eine Zahl n gibt, so dass von ω nach {0,1} ein erstes Segment im Bar mit einer Länge von maximal n existiert. Brouwers Fan Theorem besagt dass jeder lösbare Bar uniform ist.

Beziehung zum Auswahlaxiom

Das Lemma von König beinhaltet das Auswahlprinzip; der erste Beweis oben zeigt die Beziehung zwischen dem Lemma und dem abhängigen Auswahlaxiom. Bei jedem Induktionschritt muss ein Knoten mit einer bestimmten Eigenschaft gewählt werden. Trotzdem ist bewiesen worden, dass zu mindest ein geeigneter Knoten existiert. Wenn es mehrere passende Knoten gibt, könnte es keine kanonische Auswahl geben. Dieser Fall kann nicht aufkommen wenn der Graph als abzählbar angenommen wird.

Das Lemma ist hauptsächlich eine Einschränkung des abhängigen Auswahlaxioms auf die vollständigen Relationen R, so dass es für alle x endlich viele z mit xRz gibt. Die Form des Lemmas, die aussagt dass jeder unendliche endlich verzweigte Baum einen unendlichen Pfad hat ist äquivalent zum Grundsatz dass jede Folge endlicher Mengen eine Auswahlfunktion besitzt (vgl. Levy [1979, Exercise IX.2.18]). Somit gibt es Modelle der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahl, in der diese Form des Lemmas von König nicht zutrifft.

Literatur

• Cenzer, D.: $\Pi^0_1$ classes in recursion theory. In: Handbook of Computability Theory. Elsevier, Leipzig 1999, ISBN 0444898824, S. 37-85. 
• Kőnig, D.: Theorie der Endlichen und Unendlichen Graphen: Kombinatorische Topologie der Streckenkomplexe. Akad. Verlag, Leipzig 1936. 
• Levy, A.: Basic Set Theory. Springer, 1979.  Neudruck: Dover 2002, ISBN 0486420795
• Simpson, S.: Subsystems of Second Order Arithmetic. Springer, 1999, ISBN 3540648828. 
• Soare, R.: Recursively Enumerable Sets and Degrees. Springer, 1987, ISBN 0387152997. 

Weblinks

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Konstruktive Mathematik (engl.)
• Das Mizar Projekt hat den Beweis einer Abwandlung des Lemmas von König komplett formalisiert und automatisch überprüft. Dokument (engl.)