Ankreis
Dreieck mit Ankreisen (rot)

Die drei Ankreise gehören mit dem Umkreis und dem Inkreis zu den besonderen Kreisen eines Dreiecks, die schon in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht wurden.

Die Ankreise sind definiert als Kreise, die jeweils von einer Dreiecksseite von Außen und von den Verlängerungen der beiden anderen Seiten tangential berührt werden. Jedes beliebige Dreieck besitzt drei Ankreise. Die Ankreismittelpunkte liegen jeweils auf der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und auf den Winkelhalbierenden der beiden Außenwinkel, die nicht zu dem Innenwinkel gehören.

Inhaltsverzeichnis

Radien

Der Radius desjenigen Ankreises, der die Seite [BC] im Inneren berührt, ergibt sich aus

\varrho_a = \frac{2 A}{b+c-a},

wobei A der Flächeninhalt des Dreiecks ist. Analog berechnen sich die Radien \varrho_b und \varrho_c der beiden anderen Ankreise.

Drückt man den Flächeninhalt nach dem Satz des Heron durch die Seitenlängen aus, so erhält man

\varrho_a = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}.

Dabei steht s für den halben Dreiecksumfang.

Für die anderen beiden Ankreise gilt entsprechend

\varrho_b = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}} und \varrho_c = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}.

Berührpunktabstände

ca ist der Abstand von C zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite a oder b.

ba ist der Abstand von B zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite a oder c.

Der Index a steht dafür, dass wir uns im Ankreis befinden, der die Seite a im Dreieck und nicht in der Verlängerung berührt. Analog ist wird die Bezeichnung für die anderen zwei Ankreise gewählt.

ca = ac = sb

cb = bc = sa,

ab = ba = sc,

s ist der halbe Umfang des Dreiecks.

Mittelpunkte

Die Mittelpunkte der Ankreise an ihrer jeweiligen Seite haben folgende baryzentrische Koordinaten, wobei \displaystyle I_a den Mittelpunkt des Ankreises der Seite a repräsentiert:

  • \displaystyle I_a = (-a:b:c)
  • \displaystyle I_b = (a:-b:c)
  • \displaystyle I_c = (a:b:-c)

Weitere Eigenschaften

  • Die Ankreismittelpunkte des Dreiecks ABC bilden ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist.
  • Verbindet man die Ecken eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten der Ankreise, so schneiden sich die Verbindungsgeraden in einem Punkt, dem Nagel-Punkt.

Literatur

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Ankreis — Ạn|kreis 〈m. 1〉 Kreis, der eine Seite eines Dreiecks von außen u. die Verlängerungen der beiden anderen Seiten von innen berührt * * * Ạn|kreis, der; es, e (Geom.): Kreis, der eine Seite eines Dreiecks von außen u. die Verlängerungen der beiden… …   Universal-Lexikon

  • Ankreis — Ạn|kreis (Geometrie) …   Die deutsche Rechtschreibung

  • Feuerbachpunkt — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Inkreismittelpunkt — Fünfeck mit Inkreis Der Inkreis eines Polygons (Vielecks) ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der… …   Deutsch Wikipedia

  • Neunpunktekreis — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Feuerbach — Feuerbachkreis Der Feuerbachkreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte: die Mittelpunkte der Seiten; die Fußpunkte der Höhen; die Mittelpunkte der oberen… …   Deutsch Wikipedia

  • Additionstheoreme — Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet der Trigonometrie. Inhaltsverzeichnis 1 Dreieckberechnung 1.1 Winkelsumme 1.2 Sinussatz 1.3 Kosinussatz 1.4 Projektionssatz …   Deutsch Wikipedia

  • Apollonisches Problem — Beispiel von drei Kreisen (schwarz) und den zugehörigen acht Lösungskreisen Apollonios von Perge widmet dem geometrischen Problem, einen Kreis zu konstruieren, der drei beliebige andere Kreise berührt, ein nicht erhaltenes Buch ( Über Berührungen …   Deutsch Wikipedia

  • Bantu-Sprachen — Die Bantusprachen bilden eine Untergruppe des Volta Kongo Zweigs der afrikanischen Niger Kongo Sprachen. Es gibt etwa 500 Bantusprachen, die von ca. 200 Mio. Menschen gesprochen werden. Sie sind im gesamten mittleren und südlichen Afrika… …   Deutsch Wikipedia

  • Bantusprache — Die Bantusprachen bilden eine Untergruppe des Volta Kongo Zweigs der afrikanischen Niger Kongo Sprachen. Es gibt etwa 500 Bantusprachen, die von ca. 200 Mio. Menschen gesprochen werden. Sie sind im gesamten mittleren und südlichen Afrika… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”