Lambert-Beersches Gesetz

Das Lambert-Beersche Gesetz ist eine Vereinigung des Bouguer-Lambertschen Gesetzes über die Schwächung der Strahlungsintensität mit der Weglänge beim Durchgang durch eine absorbierende Substanz mit dem Beerschen Gesetz über den Zusammenhang der Intensitätsschwächung mit der Konzentration der absorbierenden Substanz. Das Gesetz bildet die Grundlage der modernen Photometrie als analytische Methode. Dies ist ein Spezialfall der Strahlungstransport-Gleichung für den Fall vernachlässigbarer Eigenemission und Streuung. Die Eigenemission ist vernachlässigbar, wenn die Strahlungsintensität erheblich über der (insbesondere thermischen) Eigenstrahlung liegt.

Das Gesetz gilt nur für monochromatische Strahlung.

Geschichte

Das Lambert-Beersche Gesetz wurde von Pierre Bouguer vor dem Jahre 1729 entdeckt. Häufig wird es fälschlicherweise Johann Heinrich Lambert zugeschrieben, der Bouguers „Essai d'optique sur la gradation de la lumière“^[1] in seiner „Photometria“ (1760)^[2] anführt und sogar daraus zitiert. Im Jahre 1852 erweiterte August Beer das Gesetz, indem er die Konzentration des Absorbanten in Abhängigkeit zum transmittierten Licht stellte.^[3]

Anwendung in der Photometrie

Extinktion eines Lichtstrahls durch eine Küvette der Dicke l.

Die Extinktion E_λ (Absorbanz des Materials für Licht der Wellenlänge λ) ist gegeben durch

$E_\lambda = -\lg \! \left(\frac{I_{1}}{I_{0}}\right) = \varepsilon_{\lambda} \cdot c \cdot d$

mit

• I₁: Intensität des transmittierten Lichtes
• I₀: Intensität des einfallenden (eingestrahlten) Lichtes
• c: Konzentration der absorbierenden Substanz in der Flüssigkeit (typische Einheiten: mol·dm⁻³ oder mol·l⁻¹)
• ε_λ: dekadischer Extinktionskoeffizient (oft auch als spektraler Absorptionskoeffizient bezeichnet) bei der Wellenlänge λ. Dieser ist eine für die absorbierende Substanz spezifische Größe und kann unter anderem vom pH-Wert oder vom Lösungsmittel abhängen. Bei einer Konzentrationsangabe in Mol wird ε_λ als dekadischer molarer Extinktionskoeffizient angegeben, beispielsweise in der Einheit mol⁻¹·dm²
• d: Schichtdicke des durchstrahlten Körpers.

Die Abnahme der Lichtintensität beim Durchqueren einer Probelösung mit der Konzentration c kann auch durch folgende abfallende Exponentialfunktion beschrieben werden:

$I_1 = I_0 \, e^{-\varepsilon^* c\, d}$

Durch Umformen der Gleichung ergibt sich:

$- \ln \! \left(\frac{I_1}{I_0}\right) = \varepsilon^* c\, d$.

Die Extinktion und der Extinktionskoeffizient werden allerdings nicht über den natürlichen Logarithmus definiert. Da der dekadische und der natürliche Logarithmus linear zusammenhängen, entspricht der Übergang einem konstanten Faktor in der Gleichung. Dieser wird einfach in die Gleichung einbezogen: Aus ε ^* wird $\varepsilon=\lg(e) \varepsilon^*\approx 0{,}434 \varepsilon^*$.

$- \lg \! \left(\frac{I_1}{I_0}\right) = \varepsilon\, c\, d$.

Dabei ist $\epsilon$ der dekadische molare Extinktionskoeffizient.

Die Extinktion ist (wie die Brechzahl eines Stoffes) von der Wellenlänge λ des eingestrahlten Lichtes abhängig (vgl. Dispersion), in Formulierung der Wellenlängenabhängigkeit mit dem Extinktionskoeffizienten k (Imaginärteil der komplexen Brechzahl):

$\varepsilon' = \frac{2 \pi k}{\lambda}$.

Im Gegensatz zur Farbdispersion bei der Brechung ist hier die Abhängigkeit von der Wellenlänge nicht durch ein rein physikalisches Gesetz vorgegeben. Im Wesentlichen wird die Wellenlängenabhängigkeit durch die molekularen Eigenschaften der absorbierenden Substanz bestimmt. Farbige Substanzen zeigen meist auf der Skala der Wellenlängen ein oder mehrere definierte Absorptionsmaxima. Andere Farbstoffe zeigen oft eine mit der Wellenlänge im sichtbaren Bereich kontinuierlich zunehmende oder abnehmende Extinktion. Diese Eigenschaften gehen in der Regel auf die Molekülstruktur, insbesondere auf Elektronenkonfigurationen in den Molekülen zurück.

Diese Tatsache wird in der chemischen Analytik genutzt. Eine Reihe von Substanzen kann aufgrund ihrer spezifischen spektralen Extinktionsverläufe direkt identifiziert und quantitativ gemessen werden (z. B. Chlorophylle, Hämoglobin). Andere – „farblose“ – Substanzen werden einer spezifischen Nachweisreaktion unterworfen, in deren Verlauf sich ein sehr charakteristischer Farbstoff bildet. Durch das Ansprechen dieser Farbbildung ist der qualitative sowie der quantitative Nachweis der betreffenden Substanz möglich (z. B. in der Wasseranalytik die Bestimmungen von Nitrit, Nitrat, Ammonium und Phosphat) Jeder der Nachweise wird bei der Wellenlänge der maximalen spezifischen Extinktion geführt, da hierbei die größte Messempfindlichkeit zu erreichen ist.

Strahlungsdämpfung allgemein

Das gleiche Gesetz gilt allgemein für den Abfall der Intensität von sich in dämpfenden Stoffen ausbreitender elektromagnetischer Strahlung. Es beschreibt also die Dämpfung optischer Strahlung in Lichtwellenleitern (LWL) oder in dämpfenden optischen Medien oder die Abschwächung von Gamma- oder Röntgenstrahlung in Materie. Umgekehrt kann mit diesem Zusammenhang bei Kenntnis beider Intensitäten eine Dickenmessung erfolgen.

Die durch ein Medium der Länge l hindurchtretende Strahlungsleistung P(d) ist:

$P(d) = P_0 \cdot e^{-\varepsilon'd}$.

mit

• P₀: eintretende Leistung
• ε': Dämpfungsfaktor oder Absorptionskoeffizient in m⁻¹
• d: Materialstärke bzw. -länge in m.

Dabei ist ε' oft stark von der Wellenlänge λ und vom Material abhängig.

Lichtwellenleiter

Für das in Langstrecken-Lichtwellenleitern verwendete Silikatglas verringert sich $\epsilon' (\lambda)$ zwischen dem sichtbaren Bereich um 0,6 µm bis ca. 1,6 µm mit der vierten Potenz der Wellenlänge; an dieser Stelle erfolgt dann eine steile Erhöhung der Dämpfung durch eine Materialresonanz des Glases. Ein weiterer Dämpfungspol liegt im Ultraviolett-Bereich. Hydroxy-Ionen im Glas, die man zwar durch spezielle Herstellungstechnologien zu vermeiden sucht, verursachen eine selektive Dämpfungserhöhung bei etwa 1,4 µm (Infrarotspektroskopie). Die Dämpfungswerte für die in LWL-Kurzstrecken eingesetzten Kunststofffasern sind höher und sind ebenfalls stark material- und wellenlängenabhängig, zweckbestimmt im sichtbaren Bereich am geringsten.

An Stelle der oben angegebenen Schreibweise wird in der Signalübertragungstechnik die Darstellung

$P(d) = P_0 \cdot 10^{-(\varepsilon d)/10}$

verwendet ( $\varepsilon$ die Dämpfung in dB/km und d die Länge des LWLs in km ist), weil in der Nachrichtentechnik durchweg das Verhältnis von (elektrischen ebenso wie optischen) Leistungen im dezimal-logarithmischen Maß dB (Dezibel) angegeben wird:

$\varepsilon_{/\mathrm{dB}} = 10 \cdot \log\frac{P_0}{P_1}$

Fernerkundung/Atmosphäre

Für die Atmosphäre wird das Lambert-Beersche Gesetz üblicherweise wie folgt formuliert:

$I = I_0\,e^{-m\left(\tau_\mathrm{a} + \tau_\mathrm{g} + \tau_\mathrm{NO_2} + \tau_\mathrm{w} + \tau_\mathrm{O_3} + \tau_\mathrm{r}\right)}$

wobei m für die atmosphärische Masse und τ_x für die optischen Dicken des enthaltenen Stoffes x steht. Im Beispiel steht x für:

• a: Aerosole (absorbierend und streuend)
• g: homogene Gase wie Kohlendioxid CO₂ und molekularer Sauerstoff O₂ (ausschließlich absorbierend)
• NO₂: Stickstoffdioxid (absorbierend)
• w: Wasserdampf (absorbierend)
• O₃: Ozon (absorbierend)
• r: Rayleigh-Streuung durch molekularen Sauerstoff O₂ und Stickstoff N₂ (himmelblau)

Die Bestimmung von τ_a ist notwendig für die Korrektur von Satellitenbildern und beispielsweise von Interesse bei der Klimabeobachtung.

Computertomographie

In der Computertomographie wird die Abschwächung der Röntgenstrahlung durch das Lambert-Beersche Gesetz beschrieben. Der Schwächungskoeffizient μ ist dabei eine Funktion des Ortes, d.h. μ variiert innerhalb des Objekts (des Patienten) und nimmt zum Beispiel in Knochen einen größeren Wert an als in der Lunge. Die gemessene Intensität I der Röntgenstrahlung ergibt sich deshalb aus folgendem Integral:

$I=I_0 \exp\left(-\int \mu(x) \operatorname dx\right)$

wobei I₀ die von der Röntgenröhre emittierte Strahlungsintensität darstellt und das Integral über x den Weg des Strahls parametrisiert. Das computertomographische Bild stellt dann die Funktion μ(x) als Graustufenbild dar (siehe Hounsfield-Skala). Aufgabe der Rekonstruktion ist es somit, aus den gemessenen Intensitäten I die Absorptionskoeffizienten μ zu ermitteln, das heißt, das zugehörige inverse Problem zu lösen.^[4]

Weblinks

• Lambert und Beer. Auf: www.biorama.ch (geprüft am: 22. Juni 2008)
• Prof. Blumes Medienangebot: Das Lambert-Beersche Gesetz (geprüft am: 22. Juni 2008)

Einzelnachweise

1. ↑ P. Bouguer: Essai d'optique, Sur la gradation de la lumière. In: Claude Jombert. Paris 1729, S. 164ff..
2. ↑ J. H. Lambert: Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae. Sumptibus Vidae Eberhardi Klett, 1760 (Digitalisat im Angebot der Universität Straßburg, abgerufen am 12. August 2010).
3. ↑ A. Beer: Bestimmung der Absorption des rothen Lichts in farbigen Flüssigkeiten. In: Annalen der Physik und Chemie. 86, 1852, S. 78–88 (Volltext auf Gallica).
4. ↑ Avinash C. Kak, Malcolm Slaney: Principles of Computerized Tomographic Imaging