Lebenstafel

Die Sterbetafel ist eine Ausscheideordnung, die darstellt, wie sich ein fiktives Kollektiv von Personen aus einer bestimmten Personengruppe durch Tod erwartungsgemäß verringert. In der Sterbetafel werden getrennt nach Geschlecht meist folgende Werte für die Alter x = 0 bis zum Endalter (früher meist 100, heute meist höher) aufgeführt:

• die alters- und geschlechtsabhängigen Sterbewahrscheinlichkeiten der betreffenden Personengruppe q_x
• daraus errechnet die Anzahl l_x der jeweils bis zum Alter x Überlebenden eines fiktiven Kollektivs in der Personengruppe
• die pro Altersjahr x Gestorbenen d_x des fiktiven Kollektivs.

Wird die Tafel zur Kalkulation von Beiträgen eines Versicherungsvertrages oder der Deckungsrückstellung verwendet, so werden meist Sterbewahrscheinlichkeiten verwendet, die gegenüber den "realistischen" Werten mit Sicherheitsmargen versehen sind. Soweit das Risiko im Tod des Versicherten besteht, werden die Sterbewahrscheinlichkeiten hierzu erhöht (Zuschlag), soweit das Risiko im Überleben besteht (Rentenversicherungen), wird ein Abschlag auf die Sterbewahrscheinlichkeit vorgenommen, um jeweils das Risiko vorsichtig einzuschätzen.

Die für zur Kalkulation privater Altersrenten verwendeten Sterbetafeln (Rententafeln) berücksichtigen die steigende Lebenserwartung. Die anzusetzende Sterbewahrscheinlichkeit hängt damit nicht nur vom Alter x, sondern auch vom Geburtsjahrgang ab, da seit Jahrzehnten von Geburtsjahrgang zu Geburtsjahrgang die Lebenserwartung zunimmt. Die damit entstehende zweidimensionale Tafel mit einer Altersverschiebung wird auch zu einer eindimensionalen Tafel vereinfacht.

Die Elemente der Sterbetafel

Die Überlebenswahrscheinlichkeit p_x sagt für jedes erreichte Lebensalter x aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Individuum des Kollektivs das Alter x + 1 erreicht. Die Wahrscheinlichkeit einer x-jährigen Person, vor Erreichen des Alters x + 1 zu sterben, also die Sterbewahrscheinlichkeit q_x ist damit 1 − p_x.

Häufig werden für Männer und Frauen getrennte Sterbetafeln verwendet. Aus der Sterbetafel lassen sich die Lebenserwartung eines neugeborenen Kindes und die sog. fernere Lebenserwartung, also die Lebenserwartung einer Person im Alter x, errechnen. In der Schreibweise der Versicherungsmathematik wird das Alter von Männern mit x, das von Frauen mit y bezeichnet. Die Sterblichkeit eines x-jährigen Mannes wird mit q_x, die einer y-jährigen Frau mit q_y notiert.

Neben den Sterbewahrscheinlichkeiten q_x werden für jedes Alter x in der Sterbetafel die Anzahl l_x der noch lebenden und die Anzahl der im Alter x versterbenden Personen d_x tabelliert. Dabei geht man oft von l₀ = 100.000 oder l₀ = 1.000.000 neugeborenen Personen aus. Damit kann man anschaulich darstellen, wie sich ein Personenkollektiv im Modell durch die Sterbefälle reduziert. Es gilt:

$l_x = l_{x-1}\cdot (1-q_{x-1})$

$d_x = l_x - l_{x+1} = l_x \cdot q_x$

Das Endalter der Sterbetafel wird in der Regel mit dem griechischen Buchstaben ω bezeichnet (z. B. DAV 1994 T: ω = 100; DAV 2004 R: ω = 120, also deutlich länger, da hiermit Rentenversicherungen kalkuliert werden).

Arten von Sterbetafeln

In der Versicherungswirtschaft werden vielfach Periodensterbetafeln eingesetzt. Dabei werden altersspezifische Sterblichkeiten von gleichzeitig lebenden Personen ermittelt. Periodentafeln beschreiben daher modellhaft die Sterblichkeitsverhältnisse gleichzeitig lebender Generationen innerhalb eines relativ kurzen Beobachtungszeitraums.

Im Gegensatz dazu sind Kohortensterbetafeln, die das Absterben eines Geburtsjahrganges beschreiben, aufgrund des langen Beobachtungszeitraums ungeeignet für die Kalkulation von Rentenversicherungen.

Unter einer Generationensterbetafel versteht man eine Sterbetafel, bei der die Sterblichkeit nicht nur vom Alter (und eventuell vom Geschlecht), sondern zusätzlich vom Geburtsjahrgang abhängt. Hierdurch lässt sich die steigende Lebenserwartung für später geborene Personen berücksichtigen. Generationentafeln liegen daher der Kalkulation von Rentenversicherungen zugrunde. Die oben bereits erwähnten Tafeln DAV 1994 R und DAV 2004 R sind Generationentafeln. Manchmal wird die Geburtsjahrabhängigkeit vereinfachend dadurch abgebildet, dass später geborene Jahrgänge für die Kalkulation durch eine einfache Altersverschiebung „jünger gemacht“ werden.

Zum Teil werden auch Versichertensterbetafeln eingesetzt. Diese berücksichtigen, dass die Sterblichkeit des Versichertenkollektivs von der Bevölkerung z. B. aufgrund einer Gesundheitsprüfung oder der Selbstselektion abweicht.

Die Methode der Sterbetafelberechnung gehört zu den nichtparametrischen Verfahren der Ereignisanalyse (event analysis).

Verwendung der Sterbetafeln und Vorsicht bei der Wahl der Wahrscheinlichkeiten

Der Kalkulation privater Lebensversicherungen (das Risiko für den Versicherer besteht darin, bei Tod der versicherten Person eine (vorzeitige) Kapitalleistung zu erbringen) und Rentenversicherungen (das Risiko besteht für den Versicherer darin, dass die Person nicht früh verstirbt, sondern viele Jahre die Rente bezieht) liegen unterschiedliche Sterbetafeln zugrunde. So hat die Deutsche Aktuarvereinigung e.V. (DAV) unterschiedliche Sterbetafeln entwickelt:

• Mit der Tafel DAV 1994 T können Versicherungen mit Todesfallcharakter (also Lebensversicherungen auf den Todes- und Erlebensfall, Risikoversicherungen) kalkuliert werden. Aus Sicherheitsgründen sind die Sterbewahrscheinlichkeiten gegenüber der Realität erhöht.
• Die Sterbetafel DAV 2004 R ist für Versicherungen mit Erlebensfallcharakter (Rentenversicherungen) eine geeignete Rechnungsgrundlage. Aus Sicherheitsgründen sind die Sterbewahrscheinlichkeiten gegenüber der Realität erniedrigt.

Beide DAV-Tafeln dürfen auch für die Berechnung der in der Bilanz auszuweisenden Deckungsrückstellung verwendet werden. Die ältere Tafel DAV 1994 R darf dagegen nicht mehr Grundlage der Berechnung der Deckungsrückstellung von Rentenversicherungen sein, da sie den Trend der Verbesserung der Sterblichkeit (wegen medizinischem Fortschritt, Verbesserung der Lebensumstände) für später geborene Personen aus heutiger Sicht nicht ausreichend vorsichtig berücksichtigt.

Siehe auch

• Demografie
• Lebenserwartung

Weblinks

• Statistisches Bundesamt: Pressemeldung zur Sterbetafel 2003/2005 für Deutschland
• Sterbetafeln für Österreich
• Datenbank mit Sterbetafeln verschiedener Länder (Human Life-Table Database)
• Datenbank zur Mortalität und Sterbetafelberechnungen für verschiedene Länder (Human Mortality Database)
• Deutsche Aktuarvereinigung e.V. (DAV)