Annihilator (Mathematik)

Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annihilator (oder auch Annullator) bezeichnet werden.

Inhaltsverzeichnis

Annihilator im Kontext von Formen

Definition

Sei V ein Vektorraum, V * der zugehörige Dualraum und S eine Teilmenge von V. Dann heißt S^0=\lbrace f\in V^*\mid f(S)=\lbrace0 \rbrace\rbrace der Annihilator von S.

Eigenschaften des Annihilators

  • S^0\subseteq V^*.
  • S^0=\langle S\rangle^0, wobei \langle S\rangle der von S erzeugte Unterraum ist.
  • Ist S_1\subseteq S_2, so ist S_1^0\supseteq S_2^0


Jeder Annihilator ist ein Unterraum des Dualraumes, weshalb man auch von einem Annullatorraum spricht. Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements auf Vektorräumen, in denen kein Skalarprodukt zur Verfügung steht.

Annihilator eines Moduls

Es sei A ein Ring und M ein A-Modul. Dann ist der Annihilator von M

\operatorname{Ann} M = \{a\in A\mid am=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ m\in M\}.

Man kann den Annihilator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung

A\to\operatorname{End}_{\mathbb Z}M, a\mapsto \ell_a, wobei \ell_a:M\rightarrow M die Linksmultiplikation mit a ist.

Der Annihilator ist ein Ideal in A.

Literatur


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