Liouvillesche Zahl

Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl x, welche die Bedingung erfüllt, dass für alle positiven ganzen Zahlen n ganze Zahlen p und q mit q > 1 existieren, so dass

$0 < \left|x - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}\ .$

Irrationalität und Transzendenz

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl $x=\tfrac c d$ mit ganzzahligem Zähler c und positiv ganzzahligem Nenner d gibt es eine positive ganze Zahl n mit 2^{n − 1} > d. Wenn nun p und q ganze Zahlen mit q > 1 und $\tfrac{p}{q} \ne \tfrac{c}{d}$ sind, dann ist

$\left|x - \frac{p}{q}\right| = \left|\frac{c}{d} - \frac{p}{q}\right| = \left|\frac{c\,q - p\,d}{d\,q}\right| \ge \frac{1}{d\,q} > \frac{1}{2^{n-1}q} \ge \frac{1}{q^n}\ .$

1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:

$c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-(j!)} = 0{,}11000\text{ }10000\text{ }00000\text{ }00000\text{ }00010\text{ }\ldots$

Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind liouvillesch.

Literatur

• Joseph Liouville: Nouvelle démonstration d'un théoreme sur les irrationalles algébriques, inséré dans le compte rendu de la dernière séance. In: Compte Rendu Acad. Sci. Paris. 18, 1844, S. 910–911.
• S. V. Kotov: Liouville number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.