Antikette

Der Begriff der Antikette (engl. antichain) ist ein Begriff der Mengenlehre und gehört zum Umfeld des Begriffs der Ordnungsrelation.

Die Definition dieses Begriffs ist wie folgt: Eine Teilmenge A einer geordneten Menge (M, R) ist eine Antikette, wenn A in Bezug auf die gegebene Ordnungsrelation R die Eigenschaft hat, dass für je zwei Elemente a und b von A weder a R b noch b R a gilt.

Das heißt: Betrachtet man die Ordnungsrelation R nur "innerhalb" der Teilmenge A, so findet man dort keine zwei miteinander in Relation stehenden Elemente. Innerhalb der Antikette A ist also die Situation entgegengesetzt der Situation, welche in einer Kette der geordneten Menge (M, R) gegeben ist. Dies motiviert die Begriffsbildung.

Beispiel: Man betrachte die natürlichen Zahlen \mathbb{N} = \{\, 1, 2, 3, \ldots \,\} als zu Grunde gelegte Menge M und als Ordnungsrelation R die bekannte Teilerrelation. Für zwei natürliche Zahlen a und b ist also a R b gleichbedeutend damit, dass a Teiler von b ist. Dann ist in dieser geordneten Menge die Menge aller Primzahlen und überhaupt jede Menge von Primzahlen eine Antikette.

Die Begriffe Antikette und Kette gehören zum Kernbestand des Teils der Mathematik, welcher sich mit der Klärung von Fragestellungen zu Ordnungsrelationen befasst. Hier ist insbesondere die Kombinatorik der endlichen geordneten Mengen zu erwähnen. Zu deren zentralen Ergebnissen zählen Sätze wie der Satz von Sperner oder auch der Satz von Dilworth, welcher seinerseits mit dem bekannten Heiratssatz (auch als Satz von Hall bezeichnet) logisch äquivalent ist.

Literatur


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