Antisymmetrische Matrix

Eine schiefsymmetrische Matrix (bzw. antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist.

Mathematisch:

AT = − A

bzw. für die Einträge


a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Körpercharakteristik ungleich 2

Eigenschaften für Körper \mathbb{F} der Charakteristik ungleich 2:

  1. Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind Null
  2. Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen mit ungerader Dimension ist wegen \operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(A) gleich Null.

Vektorraum

Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Vektorraum. Ist der Körper \mathbb{F}=\R, so bezeichnet man diesen Vektorraum mit \mathfrak{so}(n). Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe \operatorname{SO}(n) (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bzgl. des kanonischen Skalarprodukts gerade

\begin{matrix}
\operatorname{Pr}:& \R^{n\times n}&\to& \mathfrak s\mathfrak o(n)\\
& A & \mapsto & \frac12(A-A^T)
\end{matrix}

Der orthogonale Rest ist die symmetrische Matrix

A-Pr(A)=\frac12(A+A^T).

Exponentialabbildung

Die Abbildung

\begin{matrix}
exp:& \mathfrak s\mathfrak o(n) & \to & \operatorname{SO}(n)\\
& A & \mapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}A^n
\end{matrix}

konvergiert, ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix In (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

Kreuzprodukt

Die schiefsymmetrische Matrix kann verwendet werden um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken:


a\times b = S_a b

Dabei ist die schiefsymmetrische Matrix Sa definiert als:


S_a = \begin{pmatrix}
    0  & -a_3 &  a_2\\
    a_3 & 0 & -a_1 \\
    -a_2 & a_1 & 0 
  \end{pmatrix}

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden, etwa zur Berechnung der Fehlerfortpflanzung.

Siehe auch


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