Antisymmetrische Relation
Eine antisymmetrische Relation, als gerichteter Graph dargestellt
Eine nicht antisymmetrische Relation, als gerichteter Graph dargestellt

Antisymmetrie ist eine Eigenschaft zweistelliger Relationen. Eine solche Relation R auf einer Menge heißt antisymmetrisch, wenn für je zwei verschiedene Elemente x und y der Menge nicht gleichzeitig xRy und yRx gelten kann. Äquivalent formuliert heißt dies, dass für beliebige Elemente x und y der Menge aus xRy und yRx stets x = y folgt.

Die Antisymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Halbordnung.

Inhaltsverzeichnis

Formale Definition

Ist M eine Menge und R \subseteq M \times M eine zweistellige Relation auf M, dann heißt R antisymmetrisch, wenn (unter Verwendung der Infixnotation) gilt:

\forall x, y \in M: xRy \and yRx \Rightarrow x = y

Beispiel

Die Relationen \le und \ge auf den reellen Zahlen sind antisymmetrisch. Aus x \le y und y \le x folgt x = y. Das gleiche gilt für x \ge y und y \ge x.

Die Teilbarkeitsrelation \mid für natürliche Zahlen ist antisymmetrisch, denn aus a \mid b und b \mid a folgt a = b. Die Teilbarkeit auf den ganzen Zahlen ist hingegen nicht antisymmetrisch, weil beispielsweise 3 \mid -3 und -3 \mid 3 gilt, obwohl -3 \ne 3.

Beziehung zur Asymmetrie

Jede asymmetrische Relation ist auch antisymmetrisch, denn für asymmetrische Relationen gilt niemals gleichzeitig xRy und yRx (insbesondere ist sogar xRx ausgeschlossen). Deshalb ist der Ausdruck xRy \and yRx immer falsch und infolgedessen die Implikation xRy \and yRx \Rightarrow x = y immer wahr.

Beispiel für asymmetrische Relationen sind die Kleiner-Relation < auf den reellen Zahlen und die Teilmengenbeziehung \subset zwischen Mengen.

Darstellung als gerichteter Graph

Jede beliebige Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M. Vom Knoten a zum Knoten b wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil a \longrightarrow b) gezogen, wenn a\,R\, b gilt.

Die Antisymmetrie von R lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer es einen Pfeil a \longrightarrow b zwischen verschiedenen Knoten a und b des Graphen gibt, dann kann es nicht gleichzeitig einen Pfeil b \longrightarrow a geben.

Schleifen \stackrel{a}\circlearrowright brauchen bei diesem Kriterium nicht untersucht zu werden.

Eigenschaften

  • Mit Hilfe der konversen Relation R − 1 lässt sich die Antisymmetrie auch durch die folgende Bedingung charakterisieren:
    R \cap R^{-1} \subseteq \mathrm{Id}_X
Hierbei bezeichnet IdX die identische Relation auf der Grundmenge X, also die Menge aller Paare (x,x).
  • Sind die Relationen R und S antisymmetrisch, dann gilt dies auch für ihre Schnittmenge R \cap S. Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt \cap_{i\in I} R_i einer beliebigen (nichtleeren) Familie von antisymmetrischen Relationen verallgemeinern.
  • Jede Teilmenge einer antisymmetrischen Relation ist wieder antisymmetrisch.

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: antisymmetrisch – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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