Ljapunow-Exponenten

Der Ljapunow-Exponent eines dynamischen Systems (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow) beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich zwei (nahe beieinanderliegende) Punkte im Phasenraum voneinander entfernen oder annähern (je nach Vorzeichen). Pro Dimension des Phasenraums gibt es einen Ljapunow-Exponenten, die zusammen das sogenannte Ljapunow-Spektrum bilden. Häufig betrachtet man allerdings nur den größten Ljapunow-Exponenten, da dieser das gesamte Systemverhalten bestimmt.

Im Eindimensionalen ist der Ljapunow-Exponent λ einer iterierten Abbildung x_{n + 1} = f(x_n) wie folgt definiert:

$\lambda(x_0) = \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{N} \ln\left|\frac{df^N(x_0)}{dx}\right|$

Eigenschaften

• Ist der größte Ljapunow-Exponent positiv, so ist das System in der Regel divergent
• Ist er negativ, so entspricht dies einer Phasenraumkontraktion, d.h. das System ist dissipativ und agiert stationär oder periodisch stabil.
• Ist die Summe der Ljapunow-Exponenten Null, so handelt es sich um ein konservatives System

Bedeutung der Ljapunow-Exponenten

Kaplan-Yorke-Vermutung

Die Kaplan-Yorke-Vermutung liefert eine Abschätzung für die obere Grenze der Informationsdimension D₁ mit Hilfe des Ljapunow-Spektrums ab. Diese so genannte Kaplan-Yorke-Dimension D_KY ist wie folgt definiert:

$D_{KY}= k + \frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i}{|\lambda_{k+1}|}$,

wobei k die größte natürliche Zahl ist, für die die Summe positiv bleibt

Ljapunow-Zeit

Das Inverse des größten Ljapunow-Exponenten, die sogenannte Ljapunow-Zeit bzw. die mittlere Prediktionszeit, ist die Zeit, für die sich sinnvolle Vorhersagen über das Systemverhalten machen lassen.

Weblinks

• Der Ljapunowexponent : Programmierbeispiel,analytische Berechnung

Quellen

• Kantz, H. und Schreiber, T.: Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-52902-6