Approximation

Approximation (lat.: proximus, „der Nächste“) ist zunächst ein Synonym für Näherung; der Begriff wird in der Mathematik allerdings noch präzisiert.

Es gibt vor allem zwei Gründe in der Mathematik, Näherungen zu untersuchen: Einmal könnte das Objekt des Interesses nur implizit, also als Lösung einer Gleichung gegeben sein. Ist die Gleichung schwer zu lösen, will man auf einfacherem Wege eine Näherung der Lösung finden. Auf der anderen Seite kann ein explizit gegebenes mathematisches Objekt nur schwer handhabbar sein. Dann ist eine Approximation aus einfachen Gebilden wünschenswert.

Beide Szenarien treten besonders häufig in der numerischen Mathematik auf, und so ist die Approximationstheorie ein elementares Teilgebiet beziehungsweise Hilfsmittel dieser Disziplin, da sie computergestützte Lösungsverfahren beschleunigen oder erst möglich machen kann.

Inhaltsverzeichnis

Arten der Approximation

Zahlen

Die alltäglichsten Formen der Approximation sind die Darstellung einer irrationalen Zahl als eine Zahl mit einer endlichen Anzahl an Nachkommastellen, sowie das Runden einer Zahl auf eine Zahl mit weniger Nachkommastellen. Zum Beispiel:

\sqrt{2} \approx 1{,}41421356 \approx 1{,}41

Computer arbeiten fast ausschließlich mit Gleitkommazahlen nach dem Standard IEEE 754, bei dem Zahlen mit endlich vielen Stellen dargestellt werden, was bei irrationalen Zahlen und periodischen Brüchen in jedem Fall eine Rundung erfordert. Die Genauigkeit der Darstellung im Computer wird dabei durch den Datentyp festgelegt.

Mit der Approximation irrationaler durch rationale Zahlen beschäftigt sich die Theorie der diophantischen Approximation.

Geometrische Objekte

In der Geometrie lassen sich komplizierte Objekte oft durch Polygone nähern. So berechnete zum Beispiel Archimedes eine Näherung für die Kreiszahl π, indem er einen Kreis durch regelmäßige Vielecke mit immer mehr Ecken annäherte.

Archimedes pi.svg

In der Physik wird die Form der Erde oft als eine Kugel angenommen, da sich dadurch ihre Gravitationswirkung leichter berechnen lässt, als bei ihrer realen Form – der eines Geoids.

Funktionen

Von besonderem Interesse ist die Näherung von Funktionen, beispielsweise für Näherungslösungen nicht exakt lösbarer Differentialgleichungen. Die häufigste Form ist die Approximation mit Polynomen, welche einfach ableitbar, integrierbar und ausrechenbar sind. Das verbreitetste Verfahren dazu ist die Entwicklung in eine Taylorreihe. Periodische Funktionen lassen sich in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen entwickeln. Dieses Verfahren heißt Fourieranalyse.

Das theoretische Grundgerüst dieser Näherungen schuf Karl Weierstraß mit seinem Approximationssatz, der besagt, dass jede stetige Funktion beliebig genau durch Polynome, und jede periodische Funktion beliebig genau durch trigonometrische Funktionen angenähert werden kann.

Von zentraler Bedeutung bei Approximationen ist der Begriff der Norm. Diese dient dazu, verschiedene Approximationen quantitativ zu vergleichen. Im Allgemeinen fällt die Näherungslösung für verschiedene Normen unterschiedlich aus. Wichtig ist es, den Fehler, der durch die Approximation entsteht, abschätzen zu können, um deren Qualität zu beurteilen. Dies ist nicht immer einfach und eine wichtige Aufgabe der Approximationstheorie.

Klassische Beispiele sind hier zum einen die Tschebyschow-Approximation, bei der stetige reelle oder komplexe Funktionen bezüglich der Supremumsnorm approximiert werden, sowie die Lp-Approximation, bei der Lp-Funktionen bezüglich der Lp-Norm approximiert werden.

Ein Beispiel für die Näherung von Funktionen ist die Kleinwinkelnäherung, bei der die Sinusfunktion durch ihren Winkel und die Kosinusfunktion durch die Konstante 1 ersetzt wird. Sie ist bei kleinen Winkeln gültig und wird zum Beispiel zur Lösung des mathematischen Pendels angewendet.

Ordnung der Approximation

Ein Maß für die Güte der Approximation einer Funktion ist die Ordnung. Eine Approximation n-ter Ordnung ist eine solche, bei der der Fehler von der Größenordnung \mathcal{O} (x^n) ist. Eine Näherung erster Ordnung wird lineare Approximation genannt, eine Näherung zweiter Ordnung quadratische Approximation.

In der Physik ist oft die lineare Näherung ausreichend, da sie meistens den größten Einfluss besitzt. Terme höherer Ordnung sind etwa dann von Bedeutung, wenn lineare Effekte unterdrückt sind, wie zum Beispiel bei der nichtlinearen Optik.

Theoretische Informatik

Auch in der theoretischen Informatik spielen Approximationen eine Rolle. Es gibt NP vollständige Optimierungsprobleme, bei denen es nicht möglich ist, eine exakte Lösung effizient zu berechnen. Man kann hier Approximationsalgorithmen verwenden, um eine Annäherung zu berechnen. Ein Beispiel ist das Rucksackproblem, bei dem es ab einer gewissen Problemgrösse sehr viel Rechenaufwand braucht, eine optimale Lösung zu berechnen, wo aber gute Approximationsalgorithmen existieren, mit denen man effizient approximative Lösungen berechnen kann.

Literatur


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Synonyme:

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  • approximation — [ aprɔksimasjɔ̃ ] n. f. • 1314 chir.; lat. médiév. approximatio, du bas lat. approximare « approcher » 1 ♦ (1740) Math. Calcul par lequel on approche d une grandeur réelle; détermination approchée. Méthodes par approximations dans le calcul d une …   Encyclopédie Universelle

  • approximation — ap‧prox‧i‧ma‧tion [əˌprɒksˈmeɪʆn ǁ əˌprɑːk ] noun [countable] 1. a number, amount etc that is not exact, but is intended to give an idea of the real number, amount etc: • The figures are meant to be an approximation of the costs. 2. something… …   Financial and business terms

  • Approximation — Ap*prox i*ma tion n. [Cf. F. approximation, LL. approximatio.] 1. The act of approximating; a drawing, advancing or being near; approach; also, the result of approximating. [1913 Webster] The largest capacity and the most noble dispositions are… …   The Collaborative International Dictionary of English

  • approximation — APPROXIMATION. s. f. Terme de Mathématique. Opération par laquelle on approche toujours de plus en plus de la valeur d une quantité cherchée, sans la trouver exactement. Résoudre un problème par approximation. On dit: Un calcul par approximation …   Dictionnaire de l'Académie Française 1798

  • Approximation — (lat.), Annäherung (s. d.); approximativ, annähernd …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Approximation — (lat.), Annäherung, bei mathem. Rechnungen die Auffindung von Werten, welche dem wahren Wert einer Größe sehr nahe kommen; approximándo, annähernd, annäherungsweise, nach und nach; approximatīv, annähernd, ungefähr; der Wahrheit nahe kommend;… …   Kleines Konversations-Lexikon

  • approximation — I noun approach, calculation, computation, contiguity, correspondence, estimate, estimation, inexactitude, inexactness, interpolation, likeness, measure, nearness, neighborhood, parity, propinquity, proximity, reckoning, resemblance, rough… …   Law dictionary

  • approximation — (n.) early 15c., act of coming near or close, noun of action from APPROXIMATE (Cf. approximate) (v.). Meaning result of approximating is from 1650s …   Etymology dictionary

  • approximation — [ə präk΄sə mā′shən] n. 1. the act or state of approximating, or coming close 2. an estimate, guess, or mathematical result that is approximately correct or close enough to exactness for a particular purpose …   English World dictionary

  • Approximation — Une approximation est une représentation imprécise ayant toutefois un lien étroit avec la quantité ou l’objet qu’elle reflète : approximation d’un nombre (de Pi par 3.14, de la vitesse instantanée d’un véhicule par sa vitesse moyenne entre… …   Wikipédia en Français

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