Approximation der Eins

Eine Approximation der Eins ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Viele für Anwendungen wichtige Banachalgebren haben kein Einselement. Eine Adjunktion eines Einselement wäre in der Regel ein unnatürliches Vorgehen. In solchen Situationen können aber die hier zu besprechenden Approximationen der Eins vorliegen, diese bilden dann einen Ersatz für das fehlende Einselement.

Nach Beispielen für Banach-Algebren ohne Einselement werden Approximationen der Eins definiert. Schließlich werden für die genannten Beispiele Approximationen der Eins angegeben.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele für Banach-Algebren ohne Einselement

Definitionen

Eine links-Approximation der Eins (bzw. rechts-Approximation der Eins) einer Banachalgebra A ist ein Netz (e_i)_{i\in I} mit e_i a \stackrel{i\in I}{\longrightarrow} a (bzw. a e_i \stackrel{i\in I}{\longrightarrow} a) für alle a\in A.

Eine (beidseitige) Approximation der Eins ist ein Netz, das gleichzeitig links- und rechts-Approximation der Eins ist.

Eigenschaften des Netzes, wie z.B. Abzählbarkeit oder Beschränktheit, werden auch den Approximationen der Eins zugeschrieben.

Hat A ein Einselement e, so ist das einelementige Netz (e) eine Approximation der Eins. Banachalgebren mit Approximation der Eins verallgemeinern also Banachalgebren mit Einselement.

Beschränkte Approximationen der Eins

Hat A eine beschränkte links-Approximation der Eins (e_i)_{i\in I} und eine beschränkte rechts-Approximation der Eins (f_j)_{j\in J}, so kann man durch eine einfache Rechnung zeigen, dass (e_i+f_j-f_je_i)_{(i,j)\in I\times J} eine beidseitige beschränkte Approximation der Eins ist.

Ein Banach-Raum X, der ein A-Linksmodul ist, heißt ein Banach-A-Linksmodul, wenn es eine Konstante k > 0 gibt mit \|a\cdot x\| \le k \|a\|\cdot \|x\| für alle a\in A und x\in X. Ein wichtiger Spezialfall ist X = A mit dem Banachalgebren-Produkt als Moduloperation.

Ist X ein Banach-A-Linksmodul, und hat A eine beschränkte Approximation der Eins (ei)i mit e_i x\rightarrow x für alle x\in X, so kann man jedes x\in X über A faktorisieren, das heißt es gibt ein a\in A und ein y\in X mit x = ay, in Formeln X=A\cdot X.

Der Spezialfall X = A verdient besondere Erwähnung: Ist A eine Banachalgebra mit beschränkter Approximation der Eins, so gilt A=A\cdot A, genauer: jedes Element aus A lässt sich als Produkt zweier Elemente schreiben.

Beispiele

Nullmultiplikation

Ein von 0 verschiedener Banachraum wird zu einer Banachalgebra, wenn man das Produkt von je zwei Elementen als 0 erklärt. Eine solche Banachalgebra kann keine Approximation der Eins enthalten.

C*-Algebren

  • Jede C*-Algebra hat eine durch 1 beschränkte Approximation der Eins.

Mit Hilfe des stetigen Funktionalkalküls kann man zeigen, dass \{x\in A;\, 0\le x , \|x\|\le 1\} bezüglich der Ordnung \le (siehe Positiver Operator) auf der Menge der selbstadjungierten Elemente eine nach oben gerichtete Menge ist und daher selbst ein Netz darstellt. Dieses Netz ist eine Approximation der Eins.

In vielen Fällen kann man aber einfachere Netze (im separablen Fall sogar Folgen) angeben. Im oben genannten Beispiel C_0(\R) sei

Die Folge der Funktionen e_n\, bildet eine Approximation der Eins für C_0(\R).

e_n(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{wenn } -n \le x \le n \\ n+1+x, & \mbox{wenn } -(n+1) \le x < -n \\ n+1-x, & \mbox{wenn } n < x \le n+1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}.

Dann ist die Folge (en)n eine Approximation der Eins in C_0(\R).

Gruppenalgebren

Die Folge der Funktionen \phi_n\, bildet eine Approximation der Eins für L^1(\R).
  • Ist G eine lokalkompakte Gruppe, so hat L1(G) eine durch 1 beschränkte Approximation der Eins.

Sei μ ein Links-Haarmaß auf G. Ist {\mathcal U} eine Umgebungsbasis des neutralen Elements von G, so gibt es zu jedem U\in {\mathcal U} eine stetige Funktion \phi_U: G \rightarrow \R^+_0 mit kompaktem, in U gelegenen Träger, \phi_U(t) \,=\, \phi_U(t^{-1}) für alle t\in G und \int_G \phi_U(t)\,{\rm d}\mu(t) = 1. Da {\mathcal U} als Umgebungsbasis durch die Inklusion gerichtet ist, ist (\phi_U)_{U\in {\mathcal U}} ein Netz, von dem man zeigen kann, dass es eine Approximation der Eins für L1(G) ist.

Im Spezialfall G=\R mit dem Lebesgue-Maß als Haar-Maß kann man als Umgebungsbasis die Folge der Mengen U_n=[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}] nehmen. Setzt man \phi_n = \phi_{U_n} wie folgt

\phi_n(x)=\begin{cases} n+nx & \mbox{wenn } -1/n \le x < 0 \\ n-nx, & \mbox{wenn } 0 \le x < 1/n \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}

so ist die Folge n)n eine Approximation der Eins für L^1(\R). Man kann auch beliebig oft differenzierbare Funktionen ϕn finden, die eine Approximation der Eins bilden, das spielt eine Rolle in der Theorie der Fourier-Transformation und der Distributionentheorie (Approximation der Delta-Distribution).

Operatorenalgebren

Es sei \mathcal E die gerichtete Menge der endlichdimensionalen Teilräume eines unendlichdimensionalen Hilbertraums H, PE sei die Orthogonalprojektion auf E. Dann ist (P_E)_{E\in\mathcal E} eine Approximation der Eins für die C*-Algebra C(H) der kompakten Operatoren auf H, sogar eine beschränkte Approximation der Eins, denn Orthogonalprojektionen haben die Operatornorm 1.

Dieses Netz ist auch eine Approximation der Eins in den Schatten-Klassen {\mathcal S}_p(H), insbesondere also in der Spurklasse und in der Hilbert-Schmidt-Klasse, allerdings nicht beschränkt, denn für die Spurnorm gilt \|P_E\|_1 = \mbox{dim}(E), für die Hilbert-Schmidt-Norm gilt \|P_E\| _2= \sqrt{\mbox{dim}(E)}, allgemein gilt für die Norm der Schattenklasse \|P_E\|_p = (\mbox{dim}(E))^{1/p}. Man kann zeigen, dass es in den Schatten-Klassen keine beschränkten Approximationen der Eins gibt. Für die Hilbert-Schmidt-Klasse folgt das aus dem oben genannten Satz über Banach-Linksmoduln, denn {\mathcal S}_2(H)\cdot {\mathcal S}_2(H) = {\mathcal S}_1(H) \not= {\mathcal S}_2(H).

Quellen


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