Approximationssatz von Dirichlet

Approximationssatz von Dirichlet

Der dirichletsche Approximationssatz ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Er besagt, dass es zu jeder reellen Zahl α und jeder positiven ganzen Zahl N eine ganze Zahl q mit 1 \leq q \leq N gibt, sodass der Abstand von qα zur nächsten ganzen Zahl höchsten gleich 1 / (N + 1) ist. In mathematischer Schreibweise: Zu \alpha \in \mathbb{R} existieren ein q \in \mathbb{Z}, 1 \leq q \leq N und ein p \in \mathbb{Z}, sodass


\left| q \alpha - p \right| < \frac{1}{N+1}.

Bewiesen wird dieser nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Satz mithilfe des Schubfachprinzips.


Als Schlussfolgerung daraus ersieht man, dass es zu jedem reellen α unendlich viele Paare (p,q) positiver ganzer Zahlen gibt, die


\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}

erfüllen. Dass diese Abschätzung nicht beliebig verbessert werden kann, besagt der (ungleich komplizierter zu beweisende) Satz von Thue-Siegel-Roth.


Beispiel: Sei  \alpha = \sqrt{2}, und N = 10. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz eine der Zahlen  \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dots, 10 \sqrt{2} um höchstens 1 / 11 von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist


\left| 5 \sqrt{2} - 7 \right| = \left| 7,07106... - 7 \right| = 0.07106... \leq 0.090909... = \frac{1}{11}.


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