Approximationssatz von Weierstraß

Der Approximationssatz von Stone-Weierstraß (nach Marshall Harvey Stone und Karl Weierstraß) besagt:

Jede Unteralgebra P der Algebra A der stetigen reellen oder komplexen Funktionen auf einem kompakten Raum M,

• die dessen Punkte separiert, $\forall x\ne y\in M\,\exists g\in\mathbf P:\;g(x)\ne g(y)$,
• in keinem Punkt verschwindet, $\forall x\in M\,\exists g\in\mathbf P:\;g(x)\ne 0$,
• und bezüglich komplexer Konjugation abgeschlossen ist,

liegt bezüglich der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz dicht in A. Anders ausgedrückt: Jede stetige Funktion über M kann durch Funktionen aus P beliebig gut approximiert werden.

Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Approximationssatzes von Weierstraß, dass man jede stetige Funktion gleichmäßig auf einem kompakten Intervall durch Polynome approximieren kann. Dieser Spezialfall kann leicht aus dem obigen allgemeinen Satz hergeleitet werden, wenn man als Unteralgebra P die Menge der Polynome nimmt (s. auch Bernsteinpolynome). Eine weitere wichtige Folgerung (oft ebenfalls als Approximationssatz von Weierstraß bezeichnet) ist, dass jede stetige Funktion auf dem kompakten Intervall [0,2π] mit gleichem Wert bei 0 und 2π gleichmäßig durch trigonometrische Polynome (d.h. Polynome in sin(x) und cos(x) bzw. Linearkombinationen aus sin(nx) und cos(nx), n∈ℕ) approximiert werden kann (siehe dazu auch den Artikel über Fourierreihen).