Mathematischer Satz

Mathematischer Satz

Ein Satz oder Theorem ist in der Mathematik eine im Sinne der Logik widerspruchsfreie Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.

Ein Satz wird nach seiner Rolle, seiner Bedeutung oder seinem Kontext oft auch anders bezeichnet:

  1. Ein Lemma ist eine Aussage, die als Hilfssatz nur im Beweis anderer Sätze verwendet wird.
  2. Ein Korollar ist eine triviale Folgerung, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergibt.
  3. Der Satz im engeren Sinn gibt eine wesentliche Erkenntnis wieder.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele für Sätze

Im folgenden sind einige einfache Sätze aufgelistet. Der zu verwendende Kalkül ist in Klammern angegeben.

  1. A\lor \neg A (tertium non datur, Aussagenlogik)
  2. Wenn jeder Mensch sterblich ist und Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich (Prädikatenlogik)
  3. Jede nicht-leere Menge besitzt mindestens ein Element (Mengenlehre)
  4. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad (Euklidische Geometrie)
  5. Zu jeder reellen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl (archimedische Ordnung, Analysis)
  6. Die Quadratwurzel aus zwei ist keine rationale Zahl (Analysis)
  7. Seien f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} stetig. Dann ist auch f \circ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} stetig. (Analysis)

Aufbau

Formulierung

Obschon ein mathematischer Satz aus einer Aussage beliebiger Form bestehen kann (Beispiel: „Nicht V oder A.“), wird ein mathematischer Satz meist in die im Imperativ formulierte Voraussetzung und die als Aussagesatz formulierte Aussage gegliedert (Beispiel: „Sei V. Es gilt A.“), so dass der Eindruck einer Implikation entsteht.

Besonders im östlichen, deutsch-sprachigen Raum[1] findet sich die folgende Struktur: „Unter der Voraussetzung V gilt die Behauptung(sic!) B.“

Vorsicht: Missverständnis durch die potentiell irreführende Verwendung des Wortes „Behauptung“ ist möglich, obschon eine Behauptung auch umgangssprachlich nicht aus sich allein heraus verständlich wird.

Vorsicht: Fehlschlüsse können entstehen durch das unüberlegte Herauslösen und Anwenden einzelner Teile eines Satzes, da diese im Allgemeinen keine Gültigkeit haben müssen.

Beispiele

  1. n \notin \mathbb{N} \quad\vee\quad n \mbox{ ist nicht prim} \quad\vee\quad n=2 \quad\vee\quad n \mbox{ ist ungerade}
  2. „Sei n eine Primzahl. Für n gilt: n=2 \quad\vee\quad n \in 2\cdot\mathbb{N} + 1
  3. Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.“ (kein Satz im mathematischen Sinne)
  4. Aus der ebenen Geometrie: „Wenn ein echtes Viereck ein Parallelogramm ist, dann haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge.“ (Hierbei bedeutet „echtes Viereck“, dass ausgeartete und überschlagene Vierecke von der Betrachtung ausgeschlossen sind).

Umkehrsatz

Vertauscht man in einem Satz Voraussetzung und Aussage des Satzes, erhält man den zugehörigen Umkehrsatz. Das sind logische Aussagen der Form „Voraussetzung ⇐ Aussage“. Es sind dann folgende Fälle zu unterscheiden:

  • Wenn der Umkehrsatz kein Satz -also falsch- ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes hinreichend, aber nicht notwendig.
  • Wenn der Umkehrsatz ein Satz -also zutreffend- ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes notwendig und hinreichend. In diesem Fall kann man einen weiteren Satz formulieren, in dem Voraussetzung und Aussage des Satzes äquivalent sind (Beispiel: „V gilt, genau dann wenn A gilt“).

Beispiele

  1. Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet.“ Dieser Umkehrsatz ist falsch, denn das Wasser könnte auch anders auf die Straße gekommen sein. Die Voraussetzung des Satzeses hat geregnet“ ist somit hinreichend, aber nicht notwendig.
  2. Wenn in einem echten Viereck gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben, dann ist es ein Parallelogramm.“ Dieser Umkehrsatz ist wahr. Die Voraussetzung des Satzes ist notwendig und hinreichend. Man kann Satz und Umkehrsatz zusammenfassen: „Ein echtes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn die gegenüberliegenden Seiten die gleiche Länge haben.

Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage

Es ist möglich, dieselbe logische Aussage auf verschiedene Weisen in Voraussetzung und Aussage aufzuteilen, und der Umkehrsatz hängt von dieser Aufteilung ab.

Die logische Aussage \lnot A \lor \lnot B \lor C lässt sich zum Beispiel auf die folgenden Weisen als Satz aufschreiben:

  1. (A \land B) \Rightarrow C − Umkehrsatz: C \Rightarrow (A \wedge B) \quad\equiv\quad (A\vee \neg C) \wedge (B \vee \neg C)
  2. A \Rightarrow (\lnot B \lor C) – Umkehrsatz: (\lnot B \lor C) \Rightarrow A \quad\equiv\quad (A \vee B) \wedge (A\vee \neg C)

Ersichtlich gilt im Allgemeinen nicht, dass die beiden Umkehrsätze äquivalent sind.

Einzelnachweise

  1. Informations-Seite der Universität Erlangen: Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Satz (Mathematik) — Ein Satz oder Theorem ist in der Mathematik eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann. Ein Satz wird nach seiner Rolle, seiner …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Wilson — Der Satz von Wilson (benannt nach John Wilson) ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er macht Teilbarkeitsaussagen zu den natürlichen bzw. ganzen Zahlen und wird deswegen auch der elementaren Zahlentheorie zugeordnet, mit deren… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Lusin — Der Satz von Lusin (nach Nikolai Nikolajewitsch Lusin) ist ein mathematischer Satz aus der Maßtheorie. Er besagt, dass der Definitionsbereich einer messbaren Funktion so eingeschränkt werden kann, dass die Funktion auf dieser Einschränkung stetig …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Vidav-Palmer — Der Satz von Vidav Palmer, benannt nach Ivan Vidav und Theodore W. Palmer, ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die C* Algebren unter den Banachalgebren und ermöglicht als Korollar eine weitere …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Eberlein–Šmulian — Der Satz von Eberlein–Šmulian (nach William Frederick Eberlein und Witold Lwowitsch Šmulian) ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der eine Aussage über Kompaktheitseigenschaften bezüglich der schwachen Topologie eines… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Krein–Šmulian — Der Satz von Krein Šmulian, benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der ein Kriterium für die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezüglich der schwach *… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Erdös-Rado — Der Satz von Erdös Rado, benannt nach Paul Erdős und Richard Rado, ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Mengenlehre. Er trifft eine Aussage darüber, wie groß eine Menge sein muss, um eine gewisse Zerlegungseigenschaft zu haben. Die… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Minkowski — Der Satz von Minkowski (nach Hermann Minkowski) ist ein mathematischer Satz, der sich mit gewissen geometrischen Gebilden und ihren äußersten Randpunkten beschäftigt. Genauer stammt er aus der Theorie der konvexen Mengen in endlichdimensionalen… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Eberlein–Smulian — Der Satz von Eberlein–Šmulian (nach William Frederick Eberlein und Witold Lwowitsch Šmulian) ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der eine Aussage über Kompaktheitseigenschaften bezüglich der schwachen Topologie eines… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Mordell-Weil — Der Satz von Mordell Weil ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Geometrie. Er besagt, dass für eine abelsche Varietät A über einem Zahlkörper K die Gruppe A(K) der K rationalen Punkte endlich erzeugt ist. Den Spezialfall,… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”