Archimedisches Axiom

Das sogenannte archimedische Axiom ist nach dem antiken Mathematiker Archimedes benannt, es ist aber älter und wurde schon von Eudoxos von Knidos in seiner Größenlehre formuliert.[1] In moderner Präzisierung lautet es folgendermaßen:

Zu je zwei Größen y > x > 0 existiert eine natürliche Zahl n\in \mathbb{N} mit nx > y.

Geometrisch lässt sich das Axiom derart interpretieren: Hat man zwei Strecken auf einer Geraden, so kann man die größere von beiden übertreffen, wenn man die kleinere nur oft genug abträgt.

Eine (an)geordnete Gruppe oder ein (an)geordneter Körper, in welchem das Archimedische Axiom gilt, heißt archimedisch (an)geordnet.

Für den Körper \mathbb{R} der reellen Zahlen wird es manchmal axiomatisch eingeführt. Man kann allerdings mit den Axiomen eines geordneten Körpers und dem Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) beweisen, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind.

zur geometrischen Interpretation

Inhaltsverzeichnis

Beweis aus dem Supremumsaxiom für einen geordneten Körper

Es sei x > 0.

Behauptung: Für jedes y > x gibt es eine natürliche Zahl n, so dass nx > y gilt.

Gegenannahme: Es gibt ein y > 0, so dass nx\leq y für alle natürlichen Zahlen n.

Dann ist y eine obere Schranke für nx. Aus dem Supremumsaxiom folgt die Existenz einer kleinsten oberen Schranke y0. Dann ist aber auch y0x eine obere Schranke (wenn nx\leq y_0 für alle natürlichen Zahlen n, so gilt sicher auch nx\leq y_0-x für alle natürlichen Zahlen n). Wegen y0x < y0, ist y0 keine kleinste obere Schranke. Dies ist ein Widerspruch. Also muss die Gegenannahme falsch sein und die Behauptung ist bewiesen.

Folgerungen aus dem archimedischen Axiom

Zu jeder Zahl x\in\mathbb{R} gibt es n_1,n_2\in\mathbb{N}, so dass n1 > x und n2 < x. Daraus folgt: Zu jedem x\in\mathbb{R} gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl n\in\mathbb{Z} mit

n\leq x < n+1.

Dabei wird n mit \lfloor x\rfloor oder \operatorname{floor}(x) bezeichnet. Ebenso existiert eine eindeutig bestimmte Zahl m\in\mathbb{Z} mit

m-1 < x \leq m

welche mit \lceil x\rceil oder \operatorname{ceil}(x) bezeichnet wird. Damit gilt auch: für alle ε > 0 existiert ein n \in \mathbb{N} mit n>1/\epsilon und daher umgekehrt 1/n<\epsilon. In der Analysis ist dieser Zusammenhang nützlich, um beispielsweise die Konvergenz oder Divergenz von Folgen nachzuweisen.

Weiterhin folgt aus dem archimedischen Axiom, dass es für zwei reelle Zahlen a,b\in\mathbb{R}, a < b immer eine rationale Zahl q\in\mathbb{Q} mit a < q < b gibt.

Satz von Hölder

Jede archimedisch geordnete Gruppe G ist kommutativ und isomorph zu einer additiv geordneten Untergruppe von \R.

Dabei ist für ein  e \in G mit e > 0 und additiv geschriebener Gruppenverknüpfung die Abbildung

 x \mapsto r = \sup\, \{ \frac {z}{n} |z \in \Z, n \in \N, z \cdot e < n \cdot x \}

ein Isomophismus von G in eine additive geordnete Untergruppe von \R, wobei n \cdot x = \underbrace {x+x+...+x}_{n-mal} für  x \in G und  n \in N und  z\cdot e = -z \cdot (-e) für  z \in Z und z < 0.[2]

Das Element e kann dabei als Einheit verwendet werden, mit dem jedes Gruppenelement x "gemessen" werden kann. Das bedeutet: Für jedes Element x der Gruppe existiert ein r so, dass  x = r \cdot e ( r \in \R).

Beispiel: Die Intervalle in der Musiktheorie bilden eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe und können alle mit der Einheit Oktave oder Cent gemessen werden.

Klassifizierung: Entweder ist eine archimedisch geordnete Gruppe G von der Form G = {..., −3a, −2a, −a, 0, a, 2a, 3a, ...} oder:

Zu jedem Element a>0 gibt es ein b mit 0 < 2b < a. (Gibt es nämlich kein minimales positives a, dann gibt es zu jedem a > 0 sicher ein c mit 0 < c < a. Falls 2c < a kann man b = c wählen. Falls 2c = a gibt es ein b mit 0 < 2b < 2c =a und falls 2c > a gilt für b = a − c die Ungleichung 0 < 2b = 2a − 2c < 2a − a = a.)

Nichtarchimedisch angeordnete Körper

Ein Beispiel für einen angeordneten Körper, in dem das Axiom des Archimedes nicht gilt, ist der in der Nichtstandardanalysis studierte Körper der hyperreellen Zahlen.

Ein einfacheres Beispiel besteht aus den rationalen Funktionen R(x) über dem rationalen (oder dem reellen) Zahlenkörper, die so geordnet werden, dass x größer ist als alle Zahlen (das geht auf eindeutige Weise).

Referenzen

  1. überliefert in: Euklid, Elemente V, Definition 4: Dass sie ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vervielfältigt einander übertreffen.
  2. Alexander Gennadjewitsch Kurosch Vorlesungen über Allgemeine Algebra. Harri Deutsch, Zürich 1964.

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • archimedisches Axiom — archimedisches Axiom,   auch Axiom des Eudọxos, Axiom der Messbarkeit, Stetigkeitsaxiom, ein vermutlich bereits auf Eudoxos von Knidos zurückgehendes Axiom, nach dem es zu zwei Größen a und b eine Zahl n gibt, sodass …   Universal-Lexikon

  • Archimedes von Syrakus — Archimedes, Domenico Fetti, 1620, Alte Meister Museum, Dresden Archimedes (griechisch ᾿Αρχιμήδης) von Syrakus (* um 287 v. Chr. vermutlich in Syrakus auf Sizilien; † 212 v. Chr. ebenda) war ein antiker griechischer Mathematiker …   Deutsch Wikipedia

  • Archimedes — Archimedes, Domenico Fetti, 1620, Gemäldegalerie Alte Meister, Dresden Archimedes (griechisch ᾿Αρχιμήδης) von Syrakus (* um 287 v. Chr. vermutlich in Syrakus auf Sizilien; † 212 v. Chr. ebenda) war ein antiker griechischer …   Deutsch Wikipedia

  • Euklid'sche Geometrie — Dieser Artikel oder Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (Literatur, Webseiten oder Einzelnachweisen) versehen. Die fraglichen Angaben werden daher möglicherweise demnächst gelöscht. Hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und… …   Deutsch Wikipedia

  • Liste von Mathematikern — Diese Liste bedeutender Mathematiker stellt eine Auswahl von Mathematikern von der Antike bis zu Gegenwart dar. Die Auswahl der Mathematiker richtet sich dabei nach ihren wissenschaftlichen Leistungen oder ihrem Bekanntheitsgrad, aufgrund deren… …   Deutsch Wikipedia

  • Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie — David Hilbert verwendet für seine Axiomatische Grundlegung der euklidischen Geometrie (im dreidimensionalen Raum) „drei verschiedene Systeme von Dingen“, nämlich Punkte, Geraden und Ebenen, und „drei grundlegende Beziehungen“, nämlich liegen,… …   Deutsch Wikipedia

  • Euklidischer Körper — Ein euklidischer Körper ist ein Körper (im Sinne der Algebra), der ein geordneter Körper ist und in dem jedes nichtnegative Element eine Quadratwurzel hat. Jeder reell abgeschlossene Körper ist euklidisch und jeder euklidische Körper ist ein… …   Deutsch Wikipedia

  • Angeordneter Körper — In der Algebra, einer Teildisziplin der Mathematik, ist ein geordneter Körper ein Körper zusammen mit einer totalen Ordnung „ “, die mit Addition und Multiplikation verträglich ist. Das bekannteste Beispiel ist der Körper der reellen Zahlen, das… …   Deutsch Wikipedia

  • Anordnungsaxiom — In der Algebra, einer Teildisziplin der Mathematik, ist ein geordneter Körper ein Körper zusammen mit einer totalen Ordnung „ “, die mit Addition und Multiplikation verträglich ist. Das bekannteste Beispiel ist der Körper der reellen Zahlen, das… …   Deutsch Wikipedia

  • Anordnungsaxiome — In der Algebra, einer Teildisziplin der Mathematik, ist ein geordneter Körper ein Körper zusammen mit einer totalen Ordnung „ “, die mit Addition und Multiplikation verträglich ist. Das bekannteste Beispiel ist der Körper der reellen Zahlen, das… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”