Arctan

Arkustangens und Arkuskotangens sind mathematische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen des Tangens bzw. des Kotangens und damit Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Tangens auf ( − π / 2,π / 2) beschränkt. Beim Arkuskotangens erfolgt eine Beschränkung auf  0 \le f(x) \le \pi .

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Graph der Funktion arctan(x)
Graph der Funktion arccot(x)
Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich  -\infty < x < \infty  -\infty < x < \infty
Wertebereich -\tfrac{\pi}{2} &amp;amp;lt; f(x) &amp;amp;lt; \tfrac{\pi}{2} 0 < f(x) < π
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion: arctan( − x) = − arctanx Punktsymmetrie zu \left(x = 0, y = \tfrac{\pi}{2}\right)
arccotx = π − arccot( − x)
Asymptoten f(x) \to\pm \tfrac{\pi}{2} für x \to\pm\infty f(x) \to \pi für x \to -\infty
f(x) \to 0 für x \to + \infty
Nullstellen x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte (0;0) \left(0; \tfrac \pi 2 \right)

Spezielle Werte

x 0\!\, 2-\sqrt3 \sqrt{1-\textstyle\frac25\sqrt5} \sqrt2-1 \textstyle\frac13\sqrt3 \sqrt{5-2\sqrt5} 1\!\, \sqrt3 \infty
arctan(x) 0\!\, \frac{\pi}{12} \frac{\pi}{10} \frac{\pi}{8} \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{5} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}

Wegen der Punktsymmetrie gelten die entsprechenden Wertepaare auch im Negativen. Solche speziellen Werte gibt es unendlich viele, aufgelistet sind nur die einfachsten.

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:


\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \cdots

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:


\arccot x= \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= \frac{\pi}{2}- x + \frac13 x^3 - \frac15 x^5 + \frac17 x^7- \cdots

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn |x| \le 1 und x\neq\pm i ist. Zur Berechnung des Arkustangens für |x| &amp;amp;gt; 1\!\, kann man ihn auf einen Arkustangens von kleineren Argumenten zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung hernehmen, oder (um ohne π auszukommen) die Gleichung


\arctan x = 2\arctan\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

Hiermit lässt sich das Argument nach mehrfacher Anwendung beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht.

Berechnung der Kreiszahl \boldsymbol{\pi}\!\, mit Hilfe des Arkustangens

Die Reihenentwicklung kann zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π verwendet werden: Die einfachste Formel ist der Spezialfall x = 1, die Leibniz-Formel

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots

Da sie nur sehr langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die kompliziertere Formel

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

um die ersten 100 Nachkommastellen von π zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die Berechnung von π verwendet.

Funktionalgleichung

Die Arkustangenswerte über 1 oder unter -1 lassen sich aus den Werten zwischen -1 und 1 ableiten:

\arctan \frac{1}{x} = \sgn(x)\cdot\frac{\pi}{2} - \arctan x

Die Arkuskotangenswerte über 1 oder unter -1 lassen sich aus den Werten zwischen -1 und 1 ableiten:

\arccot \frac{1}{x} = (2-\sgn(x))\frac{\pi}{2} - \arccot x

Ableitungen

Arkustangens:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2(\arctan(x))
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arctan(ax+b) =  \frac{a}{1+(ax+b)^2}

Arkuskotangens:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(x) = -\frac{1}{1+x^2}.
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(ax+b) = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arctan(ax+b)= - \frac{a}{1 + (ax+b)^2}

Stammfunktionen

Arkustangens:

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

\frac1{ax^2+bx+c}.

Ist die Diskriminante D = b2 − 4ac nicht negativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

u=\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}

in die Form

\frac{4a}{-D}\,\frac1{1+u^2}

bringen; eine Stammfunktion ist also

\frac2{\sqrt{-D}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}.

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

\int \arctan \frac{x}{a} \,\mathrm dx = x \, \arctan \frac{x}{a}  - \frac{a}{2} \ln\left(a^2 + x^2\right).

Arkuskotangens:

F(x) = x \, \arccot x + \frac{1}{2}\, \ln \left( 1 + x^2 \right) + C
 \int \arccot \frac{x}{a} \, \mathrm dx=  x \, \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{2} \, \ln(a^2 + x^2)

Komplexes Argument


\arctan(a+b\,\mathrm{i}) = \left\{
\begin{array}{ll} \displaystyle
\frac12 \!\left(\arctan \frac{a^2+b^2-1}{2a} + \frac\pi2 \sgn(a) \right)
 &amp;amp;amp; \; a\neq0 \\
0
 &amp;amp;amp; \; a=0,\, |b|\leq1 \\ \displaystyle
\frac\pi2 \sgn(b)
 &amp;amp;amp; \; a=0,\, |b|&amp;amp;gt;1 \\
\end{array} \right\}

+ \mathrm{i} \cdot \frac12 \operatorname{artanh} \frac{2b}{a^2+b^2+1}
  mit  a,b \in \mathbb{R}


\arccot(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arctan(a+b\,\mathrm{i})

Anmerkungen

Arkustangens:

Man kann den Arkustangens durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arctan z=\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i} = \frac{1}{2\mathrm i} \ln  \frac{1+\mathrm iz}{1-\mathrm iz}

Arkuskotangens:

Man kann den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arccot z=\frac{\pi}{2}-\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i}

Zwischen Arkustangens und Arkuskotangens besteht folgende Beziehung:

 \arccot z = \frac{\pi}{2} - \arctan z

Näherungsweise Berechnung

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens (maximale Abweichung unter 0,005 Radianten):

 \arctan x \approx \frac{x}{1 + 0{,}28x^2} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad |x| \le 1
 \arctan x \approx \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x &amp;amp;gt; 1

Weitere Informationen dazu und eine genauere Approximation hier.

Arkuskotangens:

 \arccot x \approx \frac{3x}{3x^2-1} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad |x| \gg 1

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten (atan2)

Diese Funktion dient bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten P(x;y) in Polarkoordinaten P(r ; \varphi) der Ermittlung des Winkels \varphi. Da der Arkustangens mit einfachem Argument nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, und außerdem die Tangensfunktion für einen Funktionswert von \pm \frac{\pi}{2} nicht umkehrbar ist, gibt es in verschiedenen Programmiersprachen (z. B. in C, Fortran) eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird üblicherweise mit \operatorname{atan2}(y,x) o. Ä. bezeichnet.

Die Funktion \operatorname{atan2}(y,x) kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind x,y reelle Zahlen und r=\sqrt{x^2+y^2}, so gilt:

x = r\cdot\cos(\operatorname{atan2}(y,x))
y = r\cdot\sin(\operatorname{atan2}(y,x))

(r,\operatorname{atan2}(y,x)) sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten (x,y).

Definition

Eine von mehreren in der Praxis vorkommenden Definitionen:

\operatorname{atan2}(y,x) := \begin{cases}
\arctan\frac{y}{x} &amp;amp;amp; \mathrm{f\ddot ur}\ x &amp;amp;gt; 0\\
\arctan\frac{y}{x} + \pi &amp;amp;amp; \mathrm{f\ddot ur}\ x &amp;amp;lt; 0,\ y \geq 0\\
\arctan\frac{y}{x} - \pi &amp;amp;amp; \mathrm{f\ddot ur}\ x &amp;amp;lt; 0,\ y &amp;amp;lt; 0\\
+\pi/2 &amp;amp;amp; \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y &amp;amp;gt; 0\\
-\pi/2 &amp;amp;amp; \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y &amp;amp;lt; 0\\
0 &amp;amp;amp; \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y = 0
\end{cases}

Für x = y = 0 ist die Funktion manchmal nicht definiert. Auch Sonderfälle wie Not a Number und Inf werden unterschiedlich behandelt.

Wertebereich

Bei der o. g. Definition:

-\pi &amp;amp;lt; \operatorname{atan2}(y,x) \le \pi

Anmerkungen

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion \operatorname{atan2}(y,x) für (x,y) ≠ (0,0) über den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu definieren:


\operatorname{atan2}(y,x) =\arg(x+\mathrm i\,y) =\frac{1}{\mathrm i}\ln\frac{x+\mathrm i\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können.

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • arctan — arctan,   Funktionszeichen für die Arkusfunktion Arkustangens …   Universal-Lexikon

  • Arctan — Fonction arctangente Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais …   Wikipédia en Français

  • arctan — noun the inverse function of the tangent; the angle that has a tangent equal to a given number • Syn: ↑arc tangent, ↑arctangent, ↑inverse tangent • Hypernyms: ↑trigonometric function, ↑circular function * * * arctan /ärk tanˈ/ abbrev …   Useful english dictionary

  • arctan — Invers Tangens …   Acronyms

  • arctan — Invers Tangens …   Acronyms von A bis Z

  • arctan — abbreviation the inverse of a tangent …   English new terms dictionary

  • Inverse trigonometric functions — Trigonometry History Usage Functions Generalized Inverse functions Further reading …   Wikipedia

  • Formule de Machin — La formule de Machin fut découverte en 1706 par John Machin et relie le nombre π à la fonction arctangente : Cette formule permet de calculer une approximation du nombre π grâce au développement en série entière de la fonction arctangente.… …   Wikipédia en Français

  • Arc tangente — Représentation graphique En mathématiques, l’arc tangente d un nombre réel est la mesure d un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre. La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de… …   Wikipédia en Français

  • Arctangente — Fonction arctangente Représentation graphique La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle ] ½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”