Arcus-Sinus

Der Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion; der Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen. Die Schreibweisen cos − 1 und sin − 1, die immer noch auf einigen Taschenrechnern verwendet werden, sollten vermieden werden, um Verwechslungen mit dem Sekans bzw. Kosekans zu vermeiden.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Die Sinusfunktion ist -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung \sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]} betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit

\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right].

Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von cos | [0,π]. Diese Definition führt zu der bijektiven Funktion

\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi],

die sich mittels \arccos x =  \frac{\pi}{2} - \arcsin x ineinander umrechnen lassen.

Eigenschaften

  Arkussinus Arkuskosinus
Funktions-
Graphen
Definitionsbereich -1 \le x \le 1 -1 \le x \le 1
Wertebereich -\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2}  0 \le f(x) \le \pi
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion: \arcsin(-x) = -\arcsin(x)\! Punktsymmetrie zu \left(x=0\;,\;y =\tfrac{\pi}{2}\right),
\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!
Asymptoten f(x) \to\pm \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1 f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1
Nullstellen x = 0\! x = 1\!
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte x = 0\! x = 0\!

Formeln für negative Argumente

Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\,
\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\,

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

\arcsin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} \;+\; \frac{3}{2\!\cdot\!4}\cdot\frac{x^5}{5} \;+\; \frac{3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\cdot\frac{x^7}{7} \;+\; \ldots

Der Ausdruck k!! bezeichnet dabei die Doppelfakultät.


Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung \arccos x =  \frac{\pi}{2} - \arcsin x  :

\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}

Verkettungen mit Sinus und Kosinus

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}, denn für y=\arccos(x)\! gilt y\in \left[ 0, {\pi} \right] und \sin(y)=\sqrt{1-\cos^2 y}.
\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}, denn für y=\arcsin(x)\! gilt y\in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] und \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2 y}.
\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, denn für y=\arctan(x)\! gilt y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ und \sin(y)=\frac{\tan y}{\sqrt{1+\tan^2y}}.
\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, denn für y=\arctan(x)\! gilt y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ und \cos(y)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2y}}.


Ableitungen

Arkussinus
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(ax+b) =  \frac{a}{\sqrt{1-(ax+b)^2}}

Spezialfall für a = 1 und b = 0:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Allgemein:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (f(x)) = \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}}
Arkuskosinus
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(ax+b) = - \frac{a}{\sqrt{1 - (ax+b)^2}}

Spezialfall für a = 1 und b = 0:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x)  = -  \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Allgemein:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(f(x)) = - \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}
Umrechnung
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x)  = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x)

Integrale

Arkussinus
\int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm dx = x\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2 } + C
Arkuskosinus
 \int \arccos \left( \frac{x}{a} \right)\, \mathrm dx = x \, \arccos \left( \frac{x}{a} \right)  - \sqrt{ a^2 - x^2} + C

Komplexe Argumente

\begin{align}
\arcsin(a+b\,\mathrm{i}) = \quad \frac{\sgn{a}}{2} \cdot \arccos & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} - (a^2+b^2) \right) \\
+\;\mathrm{i} \cdot \frac{\sgn{b}}{2} \cdot \operatorname{arcosh} & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} + (a^2+b^2) \right)
\end{align}   mit  a,b \in \mathbb{R}
\arccos(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arcsin(a+b\,\mathrm{i})

Wobei für die Signumfunktion gilt \sgn{x} := \begin{cases} +1 & \; x\geq0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}

Anmerkungen

Besondere Werte

x − 1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
arcsin(x) -\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{6} 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}
x − 1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
arccos(x) π \frac{5 \pi}{6} \frac{3 \pi}{4} \frac{2 \pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{6} 0

Kettenbruchdarstellung des Arkussinus

H. S. Wall fand 1948 folgende Kettenbruchdarstellung für den Arkussinus:

\arcsin(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1-\cfrac{1\cdot 2x^2}{3-\cfrac{1\cdot 2x^2}{5-\cfrac{3\cdot 4x^2}{7-\cfrac{3\cdot 4x^2}{9-\cfrac{5\cdot 6x^2}{11-\ldots}}}}}}

Sonstiges

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z+\sqrt{1-z^2}\right)
\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z+\mathrm i\sqrt{1-z^2}\right)

Siehe auch

Literatur

  • Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. B.G. Teubner, Stuttgart 1991. ISBN 3-87144-492-8

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Arcus-Cosinus — Arcus Cosinus, Arcus Cotangens, Arcus Sinus, Arcus Tangens. Man versieht unter arc sin x, arc tg x, arc ctg x beziehentlich denjenigen zwischen – π/2 und + π/2, unter arc cos x denjenigen zwischen o und π liegenden Bogen …   Lexikon der gesamten Technik

  • Arcus — (lat.), Bogen, z. B. in der Geometrie ein Kreisbogen; A. sinus x, geschrieben arc sin x, der Bogen, dessen Sinus = x ist, entsprechend Arc cos x, Arc tg x etc., der Bogen (oder Winkel), dessen Kosinus oder dessen Tangente etc. = x ist (vgl.… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Arcus-Funktion — Eine Arkusfunktion (von lat. arcus „Bogen“) oder inverse Winkelfunktion ist die Umkehrfunktion einer trigonometrischen Funktion. Sie berechnet die Bogenlänge eines Sektors des Einheitskreises x2 + y2 = 1. Ihr Funktionswert ist ein Winkel. Die… …   Deutsch Wikipedia

  • Arcus-Funktionen — Eine Arkusfunktion (von lat. arcus „Bogen“) oder inverse Winkelfunktion ist die Umkehrfunktion einer trigonometrischen Funktion. Sie berechnet die Bogenlänge eines Sektors des Einheitskreises x2 + y2 = 1. Ihr Funktionswert ist ein Winkel. Die… …   Deutsch Wikipedia

  • Sinus — Graphen der Sinus und der Cosinusfunktion Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen aus der Klasse der trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus sind grundlegend in allen… …   Deutsch Wikipedia

  • Sinus und Kosinus — Graphen der Sinusfunktion (rot) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind 2π periodisch und nehmen Werte von −1 bis 1 an. Sinus und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen. Vor Tangens und… …   Deutsch Wikipedia

  • Arcus-Cosinus — Der Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion; der Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen …   Deutsch Wikipedia

  • Arcus-Cotangens — Arkustangens und Arkuskotangens sind mathematische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen des Tangens bzw. des Kotangens und damit Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Tangens auf ( − π… …   Deutsch Wikipedia

  • Arcus-Tangens — Arkustangens und Arkuskotangens sind mathematische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen des Tangens bzw. des Kotangens und damit Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Tangens auf ( − π… …   Deutsch Wikipedia

  • Arcus Cotangens — Arkustangens und Arkuskotangens sind mathematische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen des Tangens bzw. des Kotangens und damit Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Tangens auf ( − π… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”