Area Sinus Hyperbolicus

Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt \operatorname{arsinh}, \operatorname{asinh}, \operatorname{arsh}; seltener auch \!\ \sinh^{-1}) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt \operatorname{arcosh}, \operatorname{arch}; seltener auch \!\ \cosh^{-1}) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Die Funktionen lassen sich durch die folgende Formeln ausdrücken:
Areasinus Hyperbolicus:

 {\rm arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)

Areakosinus Hyperbolicus:

 {\rm arcosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)

Umrechnung


\operatorname{arsinh}(x) = \operatorname{sgn}(x) \cdot \operatorname{arcosh}\left(\sqrt{|x|^2 + 1} \right)


Für x > 1 gilt:


\operatorname{arcosh}(x) = \operatorname{arsinh}\left(\sqrt{|x|^2 - 1} \right)

Eigenschaften

Graph der Funktion arsinh(x)
Graph der Funktion arcosh(x) (rot) und Asymptote (blau)
  Areasinus Hyperbolicus Areakosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  1 \le x < + \infty
Wertebereich  - \infty < f(x) < + \infty  0 \le f(x) < + \infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung,
ungerade Funktion
keine
Asymptote  f(x)\to \pm \ln(2|x|) für  x \to \pm \infty  f(x)\to \ln(2x) für  x \to +\infty
Nullstellen x = 0 x = 1
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei x = 1
Wendepunkte x = 0 keine

Reihenentwicklungen

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei tritt die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binominalkoeffitienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

\begin{alignat}{2} 
{\rm arsinh}(x) &= x \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!(-x^2)^k}{(2k)!! (2k+1)} = x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 - \frac{15}{336} x^7 + \frac{105}{3456} x^9 - \dots & \text{ f}\ddot{\text{u}} \text{r }|x| < 1
\\
 &= \sum _{k=0}^{\infty } \frac{\left(\begin{array}{c} -\frac12 \\ k \end{array} \right) x^{2 k+1}}{2 k+1} = x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 - \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 - \dots & {}
\\
 &= {\rm sgn}(x) \cdot \left[ \ln(2|x|) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^2)^k} \right] & \text{ f}\ddot{\text{u}} \text{r }|x| >1
\\
{\rm arcosh}(x) &= -\ln (x^{-1})+\ln 2-\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!!}{2n\cdot (2n)!!}x^{-2n} & {}
\end{alignat}

Ableitungen

Die Ableitung des Areasinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.

Die Ableitung des Areakosinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arcosh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.

Integrale

 \int \operatorname{arsinh}(x)\ \mathrm dx = x \cdot \operatorname{arsinh}(x) - \sqrt{x^2 + 1} + C
 \int \operatorname{arcosh}(x)\ \mathrm dx = x \cdot \operatorname{arcosh}(x) - \sqrt{x^2 - 1} + C

Siehe auch

Weblinks


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