Areaformel

Unter der Flächenformel versteht man eine Integrationsregel für die Berechnung von Flächeninhalten m-dimensionaler Flächen im \R^n (m ≤ n), sie lautet

H^m(A)=\int_B\sqrt{\det(Df\,^tDf)}\,dL^m,

wobei A = f(B) eine in parametrisierter Form vorliegende Fläche bezeichnet bei einer injektiven differenzierbaren Funktion f:G\to\mathbb R^n mit B\subset G, G ein Gebiet im \mathbb{R}^m. Hm(A) ist das m-dimensionale Hausdorff-Maß (der m-dimensionale Flächeninhalt) von A und Lm das m-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im \R^m. Der Integrand wird die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von f genannt; Df ist die Ableitung (Funktionalmatrix) von f und Df t deren Transponierte.

Eine allgemeinere Formulierung der Flächenformel lautet

\int_A g\,dH^m=\int_B (g\circ f)\sqrt{\det(Df\,^tDf)}\,dL^m

und liefert den Wert des Integrals einer auf der Fläche A definierten Funktion g nach dem Hausdorff-Maß Hm.

Als Voraussetzungen für diese Formeln sind Lm-Messbarkeit von B und Hm-Messbarkeit von g zu nennen, was allerdings keine wesentliche Einschränkung bedeutet, da alle in der Praxis vorkommenden Mengen bzw. Funktionen diese Eigenschaft besitzen.

Im Spezialfall m = n ergibt die Flächenformel die Transformationsformel aus der Maß- und Integrationstheorie.


Literatur

  • Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 153, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1969

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