Arithmetische Progression

Eine arithmetische Folge oder arithmetische Progression ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Also

ai + 1 = ai + d (rekursive Formel)

Das i-te Glied ai einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied a0 und der Differenz d berechnet sich aus


a_i = a_0 + i\;d (explizite Formel)

beziehungsweise aus


a_0=a_0,\ a_1=a_0+d,\ a_2=a_0+2d,\ a_3=a_0+3d,\ \dots

Inhaltsverzeichnis

Arithmetische Folge und arithmetisches Mittel

Die arithmetische Folge leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab, da jedes Glied einer arithmetischen Folge a_i\ mit i>0\ das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist:

a_i = \frac{a_{i+1} + a_{i-1}}{2}

Die Summation der Folgenglieder ergibt die arithmetische Reihe.

Beispiele für arithmetische Folgen

Folge der ungeraden, natürlichen Zahlen

 1\ 3\ 5\ 7\ 9\ 11\ ...\ 2n+1\

Arithmetische Folge mit dem Anfangsglied a0 = 25 und der Differenz d = − 3

\begin{align}
  a_0&=25-0\cdot3=25,\\
  a_1&=25-1\cdot3=22,\\
  a_2&=25-2\cdot3=19,\\
  a_3&=25-3\cdot3=16,\\
  \vdots
\end{align}

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

25,\ 22,\ 19,\ 16,\ 13 ,\ 10,\ 7,\ 4,\ 1,\ -2,\  \dots

Differenzenfolge

Die Folge aus den Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzenfolge. Bei einer Arithmetischen Folge muss die Differenzenfolge konstant sein:

d = a_{i+1} - a_i\

Beispiel

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender, ungerader, natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge eine Zweierfolge:

1\ 3\ 5\ 7\ 9\ 11\ 13\ ...\
2\ 2\ 2\ 2\ 2\ 2\ ...\

Arithmetische Folgen höherer Ordnung

Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms.

Beispiele

A. Die Folge der Tetraederzahlen

Folge: 1\ 4\ 10\ 20\ 35\ 56\ 84\ ...\
1. Differenzenfolge: 3\ 6\ 10\ 15\ 21\ 28\ ...\
2. Differenzenfolge: 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ ...\
3. Differenzenfolge: 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ ...\

Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3. Ordnung. Die Polynomfunktion, welche die Folge beschreibt, lautet:

a_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{1}{6}\cdot(n^3+3n^2+2n).

Der größte Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion, und das ist in diesem Fall die drei.

Wie man der Tabelle entnehmen kann ist die Folge der Dreieckszahlen (1. Differenzenfolge) eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

B. Die Folge der (positiven) Quadratzahlen

Folge: 1\ 4\ 9\ 16\ 25\ 36\ 49\ ...\
1. Differenzenfolge: 3\ 5\ 7\ 9\ 11\ 13\ ...\
2. Differenzenfolge: 2\ 2\ 2\ 2\ 2\ ...\

Bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich um eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Berechnung

Zur Berechnung arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung sind die Formeln

  • \sum_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)}{2}
  • \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • \sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
  • \sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}

zu verwenden. Letztere heißt Faulhabersche Formel, in der Bk die k-te Bernoulli-Zahl ist.

Siehe auch

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