Arithmetischer Mittelwert

Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist ein Mittelwert, der folgendermaßen definiert ist:

 \bar{x}_{\mathrm{arithm}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Das arithmetische Mittel von 50 und 100 ist \tfrac{50+100}{2} = 75.

Anwendungsbeispiel

Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauf folgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um denselben Weg ebenfalls in zwei Stunden zurückzulegen?

Der Weg s1, den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt

s_1=100\ \mathrm{km/h} \cdot 1\ \mathrm{h}+200\ \mathrm{km/h} \cdot 1\ \mathrm{h}.

und der des zweiten Autos

s_2=v_2 \cdot 2\ \mathrm{h},

wobei v2 die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist. Aus s1 = s2 ergibt sich

v_2 \cdot 2\ \mathrm{h}=100\ \mathrm{km/h} \cdot 1\ \mathrm{h}+200\ \mathrm{km/h} \cdot 1\ \mathrm{h}.

und damit

v_2=\frac{100\ \mathrm{km/h}\cdot 1\ \mathrm{h}+200\ \mathrm{km/h} \cdot 1\mathrm{h}}{2\ \mathrm{h}}=\frac{100\ \mathrm{km}+200\ \mathrm{km}}{2\ \mathrm{h}}=150\ \mathrm{km/h}.
Für die Bedeutung des arithmetischen Mittelwert in der Elektrotechnik siehe Arithmetischer Mittelwert (Elektrotechnik)

Interpretationen

Arithmetisch

Das arithmetische Mittel zweier Zahlen a,b ist diejenige Zahl m, für die gilt

\ m-a=b-m

Wahrscheinlichkeitstheoretisch

Sind X_1, \dots, X_n Zufallsvariablen, die unabhängig und identisch verteilt mit Mittelwert bzw. Erwartungswert μ und Varianz σ2 sind, so hat der Stichprobenmittelwert m:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ebenfalls Mittelwert μ, aber die kleinere Varianz σ2 / n. Hat also eine Zufallsvariable endlichen Mittelwert und endliche Varianz, so folgt aus der Tschebyschow-Ungleichung, dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe gegen den Erwartungswert der Zufallsvariablen stochastisch konvergiert. Das arithmetische Mittel ist daher nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt. Es ist allerdings sehr empfindlich gegenüber Ausreißern (siehe Median und Sonstige Mittelwerte).

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Es lässt sich auch ein gewichtetes arithmetisches Mittel definieren. Es folgt diese im statistischen und im wahrscheinlichketistheortischen Sinne.

Statistik

Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte xi, i=1,\dots, n aus n Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen wi miteinander kombinieren will:

 \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n w_i} .

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sind die Xi unabhängig verteilte Zufallsgrößen (d. h. X1 ist eine Zufallsgröße mit den Zufallsvariablen X_{11}, \dots, X_{1n} und X2 ist eine Zufallsgröße mit den Zufallsvariablen X_{21},\dots,X_{2m} …) mit gemeinsamem Erwartungswert μ aber unterschiedlichen Varianzen \sigma_i^2, so hat der gewichtete Mittelwert ebenfalls Erwartungswert μ und seine Varianz beträgt

 \sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2}{\left(\sum_{i=1}^n w_i\right)^2}.

Wählt man

 w_i = \frac{1}{\sigma_{i}^2} ,

so vereinfacht sich die Varianz zu

 \sigma^2_{\bar{x}} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_i^2}}.

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt

\left(\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_i^2}\right)\geq \left(\sum_{i=1}^n w_i\right)^2,

die Wahl  w_i = 1/\sigma_{i}^2 oder eine Wahl proportional dazu minimiert also die Varianz des gewichteten Mittels. Mit dieser Formel lassen sich die Gewichte wi abhängig von der Varianz des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst, zweckmäßig wählen.

Sind die Xi speziell Stichprobenmittelwerte vom Umfang ni aus derselben Grundgesamtheit, so hat Xi die Varianz σ2 / ni, also ist die Wahl wi = ni optimal.

Beispiele

Das arithmetische Mittel \bar{x}_1 der n1 = 3 Zahlen 1, 2 und 3 beträgt 2, das arithmetische Mittel \bar{x}_2 der n2 = 2 Zahlen 4 und 5 beträgt 4,5. Das arithmetische Mittel aller 5 Zahlen ergibt sich als mit dem Stichprobenumfang gewichteter Mittelwert der Teilmittelwerte:

\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{3\frac{1+2+3}{3}+2\frac{4+5}{2}}{3+2}=\frac{n_1\bar{x}_1+n_2\bar{x}_2}{n_1+n_2}=\frac{6+9}{3+2}=3.

Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise als gewichtetes Mittel bestimmen, wobei die Klassenmitten als Wert und der Klassenumfang als Gewicht zu wählen sind. Sind beispielsweise in einer Schulklasse ein Kind in der Gewichtsklasse 20 bis 25 kg, 7 Kinder in der Gewichtsklasse 25 bis 30 kg, 8 Kinder in der Gewichtsklasse 30 bis 35 kg und 4 Kinder in der Gewichtsklasse 35 bis 40 kg, so lässt sich das Durchschnittsgewicht als

\frac{1 \cdot 22{,}5 + 7 \cdot 27{,}5 + 8 \cdot 32{,}5 + 4 \cdot 37{,}5}{1 + 7 + 8 + 4} = \frac{625}{20} = 31{,}25

abschätzen.

Weiteres Beispiel: Ein Bauer stellt im Nebenerwerb 100 kg Butter her. 10 kg kann er für 10 €/kg verkaufen, weitere 10 kg für 6 €/kg und den Rest muss er für 3 €/kg verschleudern. Zu welchem (gewichtetem) Durchschnittspreis hat er seine Butter verkauft? Lösung: (10 kg · 10 €/kg + 10 kg · 6 €/kg + 80 kg · 3 €/kg) / (10 kg + 10 kg + 80 kg) = 400 € / 100 kg = 4 €/kg. Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis, zu dem die Gesamtmenge verkauft werden müsste, um den gleichen Erlös zu erzielen wie beim Verkauf von Teilmengen zu wechselnden Preisen.

Der Mittelwert einer Funktion

Als Mittelwert der Riemann-integrierbaren Funktion f:[a,b]\to\R wird die Zahl

\bar{f}:=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x

definiert.

Die Bezeichnung Mittelwert ist insofern gerechtfertigt, als für eine äquidistante Zerlegung \{x_0,x_1, x_2,\dots, x_n\} des Intervalls mit der Schrittweite h=\frac{b-a}{n} das arithmetische Mittel

m_n(f):=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)}{n}=\frac{1}{b-a}\sum_{k=1}^nf(x_k)h

gegen \bar{f}\; konvergiert, vgl. [1].

Ist f\; stetig, so besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung, dass es ein \xi\in[a,b] gibt mit f(\xi)=\bar{f}\;, die Funktion nimmt also an mindestens einer Stelle ihren Mittelwert an.

Der Mittelwert der Funktion f(x) mit dem Gewicht w(x)\; (wobei w(x)>0\; für alle x \in [a,b]) ist

 \bar{f} = \frac{\int_a^b f(t) w(t) \mathrm{d}t}{\int_a^b w(t) \mathrm{d}t} .

Für Lebesgue-Integrale im Maßraum (\Omega, \mathcal A, \mu) mit einem endlichen Maß \mu(\Omega)<\infty lässt sich der Mittelwert einer Lebesgue-integrierbaren Funktion als

\bar{f}:=\frac{1}{\mu(\Omega)}\int_\Omega f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)

definieren. Handelt es sich um einen Wahrscheinlichkeitsraum, gilt also \mu(\Omega)=1\;, so nimmt der Mittelwert die Form

\bar{f}:=\int_\Omega f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)

an; das entspricht genau dem Erwartungswert von f\;.

Quasi-arithmetischer Mittelwert (f-Mittel)

Sei f eine auf einem reellen Intervall I streng monotone stetige (und daher invertierbare) Funktion und seien

w_i, 0\leq w_i\leq 1, \sum_i w_i =1

Gewichtsfaktoren. Dann ist für x_i\in I das mit den Gewichten wi gewichtete quasi-arithmetische Mittel definiert als

\bar{x}_f = f^{-1}\left(\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)\right).

Offensichtlich gilt

\min(x_i)\leq \bar{x}_f \leq\max(x_i).

Für f(x) = x erhält man das arithmetische, für f(x) = log(x) das geometrische Mittel, und für f(x) = xk das k-Potenzmittel.

Dieser Mittelwert lässt sich auf das gewichtete quasi-arithmetische Mittel einer Funktion x\; verallgemeinern, wobei f\; in einem die Bildmenge von x umfassenden Intervall streng monoton und stetig sei, verallgemeinern:

 \bar{x}_f = f^{-1}\left(\frac{\int f(x(t)) w(t) \mathrm{d}t}{\int w(t) \mathrm{d}t}\right)

Einzelnachweise

  1. H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 8. Auflage, Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6

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