Muirhead-Ungleichung

Die Muirhead-Ungleichung ist eine Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Zwei Definitionen

Das "a-Mittel"

Für einen gegebenen reellen Vektor

$a=(a_1,\dots,a_n)$

wird der Ausdruck

$[a]={1 \over n!}\sum_\sigma x_{\sigma_1}^{a_1}\cdots x_{\sigma_n}^{a_n},$

wobei über alle Permutationen σ von { 1, ..., n } summiert wird, als "a-Mittel" [a] der nichtnegativen reellen Zahlen x₁, ..., x_n bezeichnet.

Für den Fall a = (1, 0, ..., 0), ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen x₁, ..., x_n; für den Fall a = (1/n, ..., 1/n) ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Doppelt stochastische Matrizen

Eine n × n Matrix P wird doppelt stochastisch genannt, wenn sie aus nichtnegativen Zahlen besteht und sowohl die Summe jeder Zeile als auch die Summe jeder Spalte gleich eins sind.

Die Muirhead-Ungleichung

Die Muirhead-Ungleichung besagt nun, dass [a] ≤ [b] für alle x_i ≥ 0 genau dann, wenn eine doppelt stochastische Matrix P existiert, für die a = Pb gilt.

Ein Beweis der Muirhead-Ungleichung findet sich beispielsweise in Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, G. Polya: Inequalities, Cambridge University Press (1952), Kapitel 2.18 und 2.19.

Siehe auch

• Mittelwert