Arkus-Cosinus

Der Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion; der Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen. Die Schreibweisen cos − 1 und sin − 1, die immer noch auf einigen Taschenrechnern verwendet werden, sollten vermieden werden, um Verwechslungen mit dem Sekans bzw. Kosekans zu vermeiden.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Die Sinusfunktion ist -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung \sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]} betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit

\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right].

Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von cos | [0,π]. Diese Definition führt zu der bijektiven Funktion

\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi],

die sich mittels \arccos x =  \frac{\pi}{2} - \arcsin x ineinander umrechnen lassen.

Eigenschaften

  Arkussinus Arkuskosinus
Funktions-
Graphen
Definitionsbereich -1 \le x \le 1 -1 \le x \le 1
Wertebereich -\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2}  0 \le f(x) \le \pi
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion: \arcsin(-x) = -\arcsin(x)\! Punktsymmetrie zu \left(x=0\;,\;y =\tfrac{\pi}{2}\right),
\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!
Asymptoten f(x) \to\pm \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1 f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1
Nullstellen x = 0\! x = 1\!
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte x = 0\! x = 0\!

Formeln für negative Argumente

Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\,
\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\,

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

\arcsin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} \;+\; \frac{3}{2\!\cdot\!4}\cdot\frac{x^5}{5} \;+\; \frac{3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\cdot\frac{x^7}{7} \;+\; \ldots

Der Ausdruck k!! bezeichnet dabei die Doppelfakultät.


Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung \arccos x =  \frac{\pi}{2} - \arcsin x  :

\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}

Verkettungen mit Sinus und Kosinus

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}, denn für y=\arccos(x)\! gilt y\in \left[ 0, {\pi} \right] und \sin(y)=\sqrt{1-\cos^2 y}.
\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}, denn für y=\arcsin(x)\! gilt y\in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] und \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2 y}.
\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, denn für y=\arctan(x)\! gilt y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ und \sin(y)=\frac{\tan y}{\sqrt{1+\tan^2y}}.
\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, denn für y=\arctan(x)\! gilt y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ und \cos(y)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2y}}.


Ableitungen

Arkussinus
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin(ax+b) =  \frac{a}{\sqrt{1-(ax+b)^2}}

Spezialfall für a = 1 und b = 0:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Allgemein:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (f(x)) = \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}}
Arkuskosinus
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(ax+b) = - \frac{a}{\sqrt{1 - (ax+b)^2}}

Spezialfall für a = 1 und b = 0:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x)  = -  \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Allgemein:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(f(x)) = - \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}
Umrechnung
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x)  = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x)

Integrale

Arkussinus
\int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm dx = x\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2 } + C
Arkuskosinus
 \int \arccos \left( \frac{x}{a} \right)\, \mathrm dx = x \, \arccos \left( \frac{x}{a} \right)  - \sqrt{ a^2 - x^2} + C

Komplexe Argumente

\begin{align}
\arcsin(a+b\,\mathrm{i}) = \quad \frac{\sgn{a}}{2} \cdot \arccos & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} - (a^2+b^2) \right) \\
+\;\mathrm{i} \cdot \frac{\sgn{b}}{2} \cdot \operatorname{arcosh} & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} + (a^2+b^2) \right)
\end{align}   mit  a,b \in \mathbb{R}
\arccos(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arcsin(a+b\,\mathrm{i})

Wobei für die Signumfunktion gilt \sgn{x} := \begin{cases} +1 & \; x\geq0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}

Anmerkungen

Besondere Werte

x − 1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
arcsin(x) -\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{6} 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}
x − 1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
arccos(x) π \frac{5 \pi}{6} \frac{3 \pi}{4} \frac{2 \pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{6} 0

Kettenbruchdarstellung des Arkussinus

H. S. Wall fand 1948 folgende Kettenbruchdarstellung für den Arkussinus:

\arcsin(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1-\cfrac{1\cdot 2x^2}{3-\cfrac{1\cdot 2x^2}{5-\cfrac{3\cdot 4x^2}{7-\cfrac{3\cdot 4x^2}{9-\cfrac{5\cdot 6x^2}{11-\ldots}}}}}}

Sonstiges

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z+\sqrt{1-z^2}\right)
\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z+\mathrm i\sqrt{1-z^2}\right)

Siehe auch

Literatur

  • Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. B.G. Teubner, Stuttgart 1991. ISBN 3-87144-492-8

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