N-stellige Operation

In der Mathematik wird der Begriff Verknüpfung als Oberbegriff für Rechenoperationen (Addition, Subtraktion usw.) und Ähnliches verwendet.

Das Wort Verknüpfung wird auch benutzt, um die Hintereinanderausführung von Funktionen zu bezeichnen; siehe Komposition (Mathematik).

Allgemeine Definition

Für eine natürliche Zahl n seien n Mengen $A_1, \ldots, A_n$ und eine weitere Menge B gegeben. Dann wird jede Abbildung des kartesischen Produkts $A_1 \times \ldots \times A_n$ in B als n-stellige Verknüpfung bezeichnet. Eine solche Verknüpfung ordnet also jedem n-Tupel $(x_1, \ldots, x_n)$ mit $x_1 \in A_1, \; \ldots, \; x_n \in A_n$ eindeutig ein Element der Menge B zu. Selbstverständlich können die Mengen $A_1, \ldots, A_n$ und B teilweise oder ganz übereinstimmen.

Im Sonderfall, dass nur B vorkommt, also $A_i = B\ \mathrm{f\ddot ur}\ 1\leq i\leq n,$ wird die Verknüpfung

$\underbrace{B\times\ldots\times B}_{n\ \text{mal}}\to B$

n-stellige innere Verknüpfung auf B genannt. Kommt B wenigstens einmal unter den A_i vor, etwa

$A_i\neq B\ \mathrm{f\ddot ur}\ 1\leq i\leq m$ und $A_i=B\ \mathrm{f\ddot ur}\ m+1\leq i\leq n$

für ein m mit $0\leq m<n,$ so heißt die Verknüpfung n-stellige äußere Verknüpfung auf B mit Operatorenbereich $A_1 \times \ldots \times A_m.$ Die Elemente von $A_1 \times \ldots \times A_m$ heißen dann Operatoren.

Man sieht schon, dass man eine n-stellige innere Verknüpfung auf B auch als n-stellige äußere Verknüpfung auf B beispielsweise mit dem Operatorenbereich B^{n − 1} betrachten kann.

Beispiele: Die durch

$(x,y,z) \mapsto \frac{x+y}{z^2+1}$

definierte Abbildung von $\R\times\R\times\R$ in $\R$ ist eine dreistellige Verknüpfung bzw. dreistellige innere Verknüpfung auf $\R.$

Ist f eine Abbildung von $\R$ in $\R$, so ist durch

$\operatorname\bullet\colon\{f\}\times\R\to\R,\ (f,x)\mapsto f\operatorname\bullet x := f(x)$
jedem Paar aus der Abbildung f und einem Element x aus R wird das Bild dieses Elementes unter der Abbildung zugeordnet

eine zweistellige äußere Verknüpfung auf $\R$ mit Operatorenbereich {f} und dem einzigen Operator f gegeben.

Jede n-stellige Verknüpfung kann als (n + 1)-stellige Relation aufgefasst werden.

Nullstellige Verknüpfungen

Eine nullstellige Verknüpfung von einer Menge A in eine Menge B ist eine Abbildung von A⁰ = {0} in B $(A^0 = A^\emptyset = \{f \mid f\colon \emptyset \to A\} = \{\emptyset\} = \{0\})$, nämlich

$c_b\colon 0 \mapsto b$ für ein $b \in B$.

Da für jedes $b \in B$ genau eine Abbildung c_b existiert, gibt es eine Bijektion

$g\colon \{c_b \mid b \in B\} \to B, c_b \mapsto b$,

so dass jedes c_b nicht von b zu unterscheiden ist. Man kann daher c_b auch als das Element $b \in B$ auffassen, also als eine Konstante in B.

Einstellige Verknüpfungen

Einstellige Verknüpfungen sind Abbildungen einer Menge A in eine Menge B.

Beispiele:

• Gegeben sei eine Menge M. Für jedes Element X der Potenzmenge P(M), also für jede Teilmenge X von M sei definiert:

$X \mapsto \overline{X} := M \setminus X$   Komplement

• Die Sinusfunktion

$x \mapsto \sin(x)$

ist eine Abbildung von $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ und damit eine einstellige Verknüpfung.

Zweistellige (binäre) Verknüpfungen

Hauptartikel: Zweistellige Verknüpfung

Besonders häufig wird der Begriff „Verknüpfung“ im Sinn einer zweistelligen Verknüpfung verwendet. Wichtige Spezialfälle sind innere und äußere Verknüpfungen. Zweistellige Verknüpfungen werden oft in Infixschreibweise notiert, also durch ein zwischen den beiden Operanden stehendes Symbol wie etwa ein Pluszeichen.

Drei- und mehrstellige Verknüpfungen

Eher selten spricht man von drei- und mehrstelligen Verknüpfungen. Ein Beispiel für eine dreistellige Verknüpfung ist die Abbildung, die je drei Vektoren aus dem $\mathbb{R}^3$ ihr Spatprodukt (aus $\mathbb{R}$) zuordnet.

Verknüpfungen in der Algebra

Verknüpfungen dienen in der Algebra dazu, algebraische Strukturen zu definieren. Die Verknüpfungen müssen dabei bestimmte Bedingungen (Axiome) erfüllen.

Zum Beispiel ist eine Halbgruppe eine Menge mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt. Die Forderung, dass das Ergebnis der Verknüpfung wieder Element der gegebenen Menge sein soll (Abgeschlossenheit), ist bereits in der Definition der inneren Verknüpfung enthalten.

Siehe auch

Einstellige Verknüpfung, Zweistellige Verknüpfung