Grenzwerte [2]

Grenzwerte einer Beanspruchung oder sonstigen Größe B (Stabkraft, Spannung, Stützenreaktion u.s.w.) bei veränderlichen Einwirkungen (Belastung u.s.w.) nennt man in der Ingenieurmechanik diejenigen beiden Werte von B, zwischen welchen alle sonst vorkommenden eingeschlossen sind. Diese Grenzwerte und daneben etwa die Beanspruchung durch die feste Last allein (Eigengewicht der Konstruktion) sind für die Dimensionenberechnung (s.d.) von besonderer Bedeutung; am meisten interessiert der numerisch größte (obere) Grenzwert.

Für die Feststellung der Grenzwerte sind in erster Linie die vorausgesetzten (vertikalen) Belastungen maßgebend. Kommen auch andre Einwirkungen in Betracht (Seitendruck des Windes bei Brücken, schiefer Winddruck bei Dächern, Temperaturänderungen bei Bogen u.s.w.), so sind deren Grenzbeiträge mit den von der Belastung allein herrührenden Grenzwerten so zu kombinieren, daß möglichst ungünstige, d.h. möglichst weit auseinander gelegene Grenzwerte im ganzen entstehen. Dies pflegt nachträglich zu geschehen und bietet im allgemeinen keine Schwierigkeit, da die Bedingungen für jene Grenzbeiträge meist ohne weiteres angegeben werden können (stärkster Winddruck von der einen und andern Seite, größte Temperaturänderung in positivem und negativem Sinne u.s.w.). Auch die Berücksichtigung von Nebenspannungen (s.d.) hat nachträglich zu erfolgen, da sie die Kenntnis der Dimensionen voraussetzt. Um die von der Belastung herrührenden Grenzwerte zu erhalten, sind verschiedene Methoden im Gebrauch. Am schnellsten gelangt man zum Ziel, wenn die Grenzwerte selbst durch Formeln ausgedrückt sind, so daß sie durch Einsetzen bekannter Zahlenwerte ohne weitere Ableitungen berechnet werden können. Derartige Formeln existieren für den beiderseits frei drehbaren vollwandigen Balken (s. Balken, einfache), für die gebräuchlichen Balkenfachwerke einfachen Systems (s. Balkenfachwerke, Parallelträger, Parabelträger, Polonceauträger, Dreieckträger, Schwedler-Träger, Paulischer Träger), für ebensolche Bogenfachwerke mit drei Gelenken (Bd. 2, S. 163), für feste Hängebrücken, durchlaufende Gelenkträger und manche andre Fälle, wobei es sich um gleichmäßig verteilte bewegte Last oder um bewegte Radlastzüge handeln kann [4]; Beispiele der Anwendung für alle diese Fälle in [5]. Auch für die Berechnung von Fachwerken doppelten Systems auf Grund der Zerlegung in einfache Systeme hat man direkt verwendbare Formeln abgeleitet (s. Fachwerke mehrfachen Systems, Parallelträger, Parabelträger, Paulischer Träger und [4], [5]). Um für weniger häufig vorkommende oder zunächst unbestimmt gelassene einfache Fachwerksysteme eine rasche Berechnung vorzubereiten, kann man die Grenzwerte derjenigen Schnittmomente Ms (s. Bd. 3, S. 549, und Schnittkräfte) ausdrücken, welchen die Stabkräfte proportional sind [4] S. 86, 88, 193, 196, 236, 240 u.s.w. Werden die betreffenden Schnitte als Querschnitte s = x und die Momentendrehpunkte u = x in der Trägerachse gewählt, so gelten diese Grenzmomente auch für vollwandige Träger. Wenn die Formeln für die Grenzwerte zu umständlich werden, so kann es sich empfehlen, wenigstens die Belastungen für die Grenzwerte (ungünstigste Belastungen) soweit möglich im voraus zu bestimmen, mit welchen dann der bei beliebiger Belastung gültige Ausdruck von B oder entsprechende Spezialformeln (für gleichmäßig verteilte Lasten u.s.w.) die Grenzwerte liefern. In dieser Weise pflegt bei durchlaufenden Balken und den meisten Bogenträgern verfahren zu werden (s. Balken, durchlaufende, Bogen, einfache, Bogenfachwerke und 112]). Selbstverständlich kann man die Berechnung der Grenzwerte auch durch Tabellen oder graphische Darstellungen erleichtern. So sind in den preußischen Vorschriften für die Berechnung von Eisenbahnbrücken [20], [26] zur näherungsweisen Berechnung der Momente M_x und Vertikalkräfte V_x durch die Verkehrslast pro Gleis in den Querschnitten x gewöhnlicher Balkenträger (Fig. 1) drei Tabellen gegeben. Die eine liefert die beim Befahren entgehenden absoluten Maximalmomente M_m (Bd. 1, S. 522) für gegebene Spannweiten l von 1–150 m, eine andre gibt für xl = 0 bis 0,5 Werte von max M_xM_m, wonach die zur Mitte symmetrische Kurve[627] der max M_x verzeichnet werden kann, die letzte dient zur Abkürzung der Berechnung von Grenzwerten der Vertikalkräfte V_x und Stützenreaktionen. Sind für einen gegebenen Fall weder die Grenzwerte noch die Belastungen für dieselben festgestellt, so können die im folgenden angedeuteten Methoden zu ihrer Ableitung dienen. Bei etwaigen vereinfachenden Annahmen ist im Auge zu behalten, daß Resultate für die Dimensionenberechnung (s.d.) eher zu ungünstig als zu günstig sein sollen. Im folgenden werden die von der festen Last allein herrührenden Teile von Größen B durch 23 bezw. durch die den Bezeichnungen der ganzen Größen entsprechenden Buchstaben des großen deutschen Alphabets bezeichnet.

a) Berechnung für einen bestimmten Lastzug. Ein Radlastzug oder Lastzug ist ein System von Einzellasten P in festen Entfernungen (Fig. 2–4). Bewegt sich ein solches Lastsystem auf einem Träger, so ändern sich mit jeder unendlich kleinen Verrückung die Abszissen a aller Lasten P um das gleiche d a, der Wert von B ändert sich um d B; für diejenigen Stellungen. des Lastsystems jedoch, welchen mathematische Maxima und Minima von B entsprechen, hat man:

Ist hiernach die ungünstigste Stellung des Lastzugs bestimmt, so liefert der allgemeine Ausdruck von B den entsprechenden Grenzwert. Auf die vorerwähnte Weise ist z.B. aus der allgemeinen Formel für das Moment im Querschnitt x eines gewöhnlichen Balkenträgers (Fig. 1, 2)

die Bedingung für max M_x erhalten:

(vgl. Bd. 1, S. 519). Näheres [4], S. 32, Anwendungen des Verfahrens [4], S. 89, 198, 200, 202, 243, 288. In vielen Fällen läßt schon der allgemeine Ausdruck von B auf die Grenzwerte schließen. So würde im Falle der Fig. 2 die größte Stützenreaktion

für möglichst kleine a, d.h. wenn der Lastzug mit dem Vorderrad bei 0 steht, die kleinste V = V für die feste Last allein eintreten.

b) Berechnung mit Hilfe von Einflußlinien (s. Bd. 3, S. 229). Nach dem Begriffe der Einflußlinie (Influenzlinie) einer Größe B liefern eine gleichmäßig verteilte Last von p pro Längeneinheit auf einer beliebigen Strecke, wenn F die Einflußfläche auf dieser Strecke bedeutet:

und beliebige Einzellasten P an beliebigen Stellen a (Knotenpunkte oder Fahrbahnpunkte), wo b die Ordinaten der Einflußlinie bezeichnen:

Der Verlauf der Einflußlinien läßt erkennen, auf welchen Strecken positive und negative Beiträge entstehen und in welchem Punkte einer positiven oder negativen Beitragsstrecke die Ordinate b und damit der Beitrag einer bestimmten Last P größer als an allen andern Stellen der Strecke wird (Einflußpunkt). – Es handle sich zunächst um eine gleichmäßig verteilte bewegte Last, welche beliebige Strecken einnehmen kann. Bezeichnen dann F₁, F₂ die algebraischen Summen der Einflußflächen des einen und andern Sinnes, B den Beitrag der festen Last zu B, dann sind die Grenzwerte von B:

Soll p nicht auf allen Strecken einerlei Sinns als gleichgroß gelten, so treten an Stelle von 4.:

worin die Summen , alle Strecken des einen und andern Sinnes umfassen. Liegt die ganze Einflußfläche auf einer Seite der Abszissenachse, dann hat man:

Handelt es sich dagegen um bewegte Radlastzüge, dann sind mit Rücksicht auf 3. die Grenzwerte von B allgemein ausgedrückt:

7.

Einzelne Lasten, welche bei unveränderlicher Abgrenzung der Fahrzeuge etwa auf eine Beitragsstrecke des dem betreffenden Grenzwerte entgegengesetzten Sinnes geraten, können einfach unberücksichtigt bleiben, so daß sich auch hier , auf die Beitragsstrecken des einer und andern Sinnes beziehen, womit man etwas zu ungünstig rechnet. Liegt die Einflußlinie ganz auf einer Seite der Abszissenachse, dann folgen:

worin die Summe ∑ sich auf den ganzen Träger bezieht.

[628] Es fragt sich noch, wie Züge aus mehreren Fahrzeugen behufs Erzeugung der Grenzwerte zusammenzusetzen sind, falls nicht besondere Vorschriften darüber bestehen. Da bei Berechnung eines Grenzwerts von B die Lastzüge um so ungünstiger wirken, je mehr durch dieselben möglichst große Lasten auf die Beitragsstrecken des betreffenden Sinnes und möglichst nahe an deren Einflußpunkte gelangen, so werden je nach der Lage des Einflußpunktes auf seiner Strecke und den in Frage kommenden Fahrzeugen besonders zweierlei Lastzüge Verwendung finden können: 1. Ein Zug I mit möglichst großen Lasten von beiden Seiten möglichst dicht um ein Rad O, aus Lokomotiven beispielsweise so gebildet, daß alle O nicht enthaltenden Lokomotiven mit den Schloten gegen dieses Rad stehen (Fig. 3); 2. ein Zug II mit möglichst großen Lasten möglichst dicht beim Vorderrad O, aus Lokomotiven beispielsweise so gebildet, daß alle Lokomotiven mit den Schloten nach der gleichen Richtung O stehen (Fig. 4). Meist ist vorgeschrieben, daß nur zwei oder drei Lokomotiven verwendet und im übrigen schwerste Güterwagen angeschlossen werden sollen. Der Zug I mit Rad O über dem Einflußpunkt i wird gewöhnlich am ungünstigsten wirken, wenn die Beitragsstrecke zu beiden Seiten ihres Einflußpunkts liegt (Fig. 3), der Zug II mit Vorderrad O über i, wenn die Beitragsstrecke nur auf einer Seite ihres Einflußpunktes liegt (Fig. 4), oder doch nahezu nur auf einer Seite desselben. Im ersten Falle kommen noch zwei Fahrrichtungen in Betracht, deren ungünstigste jedoch meist leicht angegeben werden kann. Nötigenfalls wäre zu probieren. Nach dem obenangeführten Ausdruck der Stützenreaktion V für den Träger Fig. 2 erkennt man auch ohne Verzeichnung der Einflußlinie, daß Zug II mit Rad O über 0 deren oberen Grenzwert liefert, während derjenige des ebenfalls angeschriebenen Moments M_x durch Zug I mit Rad O über x entsteht (Einflußlinien dieser V, M_x s. Bd. 3, S. 230, Einfluß der Zwischenträger Bd. 3, S. 231 [5], S. 17). Die beiden unteren Grenzwerte treten für die feste Last allein ein. Näheres über Berechnung mit Hilfe von Einflußlinien s. [3], I, S. 27, [4], S. 33, 35, 41, [12], S. 42, u.s.w.

c) Berechnung bei vorausbestimmten Knotenpunktslasten. Die von der Verkehrslast herrührenden Knotenpunktslasten werden von vornherein festgestellt. Sollen nun die Grenzwerte von B ermittelt werden, so denkt man sich nach dem Vorgange von A. Ritter [10] zunächst den ganzen Träger vollbelastet, leitet den entsprechenden Ausdruck von B allgemein oder numerisch ab und ordnet ihn so, daß der Einfluß der Verkehrslast in jedem Knotenpunkt durch ein Glied von leicht erkennbarem Vorzeichen dargestellt m. Man erhält dann das größte positive B (oder kleinste negative B), wenn man alle Verkehrsarten von negativem Einfluß wegläßt, das größte negative B (oder kleinste positive B), wenn man alle Verkehrsarten von positivem Einfluß wegläßt, und B für die feste Last allein, wenn keine Verkehrslast berücksichtigt wird. – Das Verfahren läßt sich an einem einfachen Beispiele klar machen. Für das Balkenfachwerk Fig. 5 mögen die Knotenpunktslasten G vom Eigengewicht der Konstruktion, die Knotenpunktslasten K von der Verkehrslast herrühren. Dann verlangt das Gleichgewicht der äußeren Kräfte (s.d.) des Trägerteils links vom Schnitte s:

woraus mit

die Stabkraft Y bei Vollbelastung des ganzen Trägers:

Hiernach erhält man für Eigengewicht allein:

und als Grenzwerte:

Greifen an einem gewöhnlichen Balkenträger der Spannweite l (z.B. Fig. 1, 2, 5, Blechträger, Gitterträger, Fachwerkträger) Verkehrslasten K₁, K₂, ... in Knotenpunkten der Abszissen e₁,e₂, ... an, so ist die Vertikalkraft in einem beliebigen Schnitte s durch den Träger (s. Schnittkräfte):

wonach die Grenzwerte derselben:

Im gleichen Falle hat man das Moment der äußeren Kräfte des Trägers links vom Schnitte s in Hinsicht eines beliebigen Drehpunkts der Abszisse u (s. Schnittkräfte):

Die Grenzwerte von M_s hängen hiernach von der Lage des Drehpunktes u ab, sie treten für 0 < u < l (Drehpunkt innerhalb der Spannweite) bei Vollbelastung des ganzen Trägers und fester Last allein ein und sind für u < 0 oder u > l (Drehpunkt außerhalb der Spannweite):

[629] Mit den Grenzwerten von M_s sind z.B. bei einfachem Fachwerksystem auch die Grenzwerte der Stabkräfte bestimmt (Bd. 3, S. 549). Näheres [4], S. 38, 98, 110, 117, 136, zahlreiche Beispiele in [10].

d) Berechnung mit einzelnen Knotenpunktslasten. Wird häufig bei statisch unbestimmten Konstruktionen angewandt. Man berechnet die von einer Last oder sonstigen Einwirkung Q = 1 in jedem einzelnen Knotenpunkte herrührenden Beiträge c zu B und kann dann den Wert von B für beliebige Kombinationen dieser Einwirkungen sowie durch Berücksichtigung aller wechselnden Beiträge von positivem oder negativem Einfluß allein auch die Grenzwerte von B erhalten. Sind die Beiträge der Q unabhängig voneinander, so liefern beliebige derselben zusammen:

und bezeichnet B den Beitrag der festen Last allein, so hat man die Grenzwerte:

worin die Summen , alle Beiträge des einen und andern Sinnes bei möglichst großen Werten der Q umfassen. Tragen alle Q in gleichem Sinne zu B bei, dann sind die Grenzwerte:

worin die Summe Σ alle Q enthält und diese möglichst groß zu wählen sind. Bei manchen hierhergehörigen Ermittlungen können die Sätze von der Gegenseitigkeit der Verrückungen (s.d.) zur Abkürzung dienen.

e) Berechnung für vorausgewählte Belastungsfälle. Kommt besonders dann zur Verwendung, wenn die Ableitung der theoretischen Grenzwerte zu umständlich oder für den augenblicklichen Zweck nicht nötig ist. Je nach der Auswahl und Anzahl berücksichtigter Belastungsfälle läßt sich meist genügende Genauigkeit erreichen, doch werden mitunter zu wenig Fälle gewählt. Als Grenzwerte von B sind diejenigen berechneten B anzusehen, zwischen welchen alle andern für die berücksichtigten Belastungsfälle erhaltenen B liegen. Bei Berechnung der älteren Koblenzer Brücke beispielsweise (Zeitschr. für Bauwesen 1864) teilte man die ganze Spannweite von 98,0775 m der Bogenträger mit Kämpfergelenken (s. Bogen, einfache) in 20 gleiche Teile und ließ die gleichmäßig verteilt gedachte Verkehrslast von einem Ende beginnend um je einen solchen Teil vorrücken, womit 21 Belastungsfälle berücksichtigt waren. Für die Fachwerkbogen mit Kämpfergelenken von 160 m Spannweite der Maria-Pia-Brücke über den Douro in Portugal (Bd. 2, S. 143, Mémoires et compte rendu de la société des ingénieurs civils, 1878, S. 741) wurden nur vier Belastungsfälle in Betracht gezogen: Eigengewicht allein, Vollbelastung des ganzen Bogens, einseitige Belastung bis zur Bogenmitte und Belastung der mittleren Strecke von 80 m Länge. Entsprechend der geringeren Genauigkeit wurden aber auch die rechnungsmäßigen Beanspruchungen verhältnismäßig gering gewählt (nicht über 620 kg pro Quadratzentimeter, vgl. Dimensionenberechnung). Die beiden genannten Brücken dienen Eisenbahnen. Bei den Bogenfachwerken ohne Gelenk der Neue-Mainzerstraße-Brücke zu Frankfurt a.M. (Zeitschr. f. Baukunde 1879) beschränkte man die Berechnung auf zwei Belastungsfälle, Vollbelastung des ganzen Trägers und einseitige Belastung bis zur Trägermitte, indem man sich auf den überwiegenden Einfluß des Eigengewichts bei Straßenbrücken berief (in diesem Falle g/p = 3,25). Für das große Gewölbe von 65 m Lichtweite der Pruthbrücke bei Jaremcze (Zeitschr. des österr. Ingen.- und Arch.- Vereins 1894) zog man sogar nur einen Belastungsfall in Betracht: einseitige Belastung bis zur Bogenmitte. Wenn dies allerdings bei Gewölben mehrfach geschehen ist, da die feste Last hier noch mehr als bei eisernen Bogen zu überwiegen pflegt (bei der Pruthbrücke durchschnittlich g/p = 12,3), so läßt sich doch nachweisen, daß das Verfahren bei Brückengewölben im allgemeinen keineswegs genügt, um so weniger, als bei Gewölben auch auf möglichste Vermeidung von Zugspannungen Bedacht zu nehmen ist.

Ueber die bei der Berechnung der Grenzwerte anzunehmenden Beladungen s. Eigengewicht, Verkehrslast, Dimensionenberechnung, Winddruck und die untenangeführte einschlagende Literatur. Ueber die Berechnung mit gleichmäßig verteilten Verkehrslasten an Stelle von Radlastzügen vgl. Lastäquivalente, über Berechnung einer Grenzbeanspruchung aus der andern bei gleichmäßig verteilten Lasten s. [4], S. 37, 74, 312. Die oben unter a), b), c) angeführten Gesichtspunkte können selbstverständlich nicht nur bei numerischer Berechnung der Grenzwerte, sondern auch bei der Ableitung von Formeln für letztere Verwendung finden [4], [5].

Literatur: [1] Heinzerling, Die angreifenden und widerstehenden Kräfte von Brücken- und Hochbaukonstruktionen, Berlin 1876. – [2] Lukas, Studie über die Gewichte von Blechträgern unter spezieller Anwendung auf schmalspurige Bahnen von 0,75 m Spannweite, Civilingenieur 1882, S. 37, 551. – [3] Winkler, Theorie der Brücken, I, Aeußere Kräfte gerader Träger, Wien 1886; II, Theorie der gegliederten Balkenträger, Wien 1881. – [4] Weyrauch, Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer, Leipzig 1887. – [5] Ders., Beispiele und Aufgaben dazu, Leipzig 1888. – [6] Ponts métalliques, Prescriptions relatives aux calculs, à la surveillance et à l'entretien des ponts métalliques en France et dans les differents pays d'Europe, Revue generale des chemins de ser 1891, S. 247 (Auszug der französischen Vorschriften: Zeitschr. des Ver. deutsch. Ingen. 1892, S. 659; Zentralbl. der Bauverwalt. 1892, S. 277). – [7] Verordnung betreffend Berechnung und Prüfung der eisernen Brücken- und Dachkonstruktionen auf den schweizerischen Eisenbahnen, Schweiz. Bauztg. 1892, Bd. 20, S. 86. – [8] Seefehlner, Beiträge zu den bei eisernen Balkenbrücken vorkommenden Berechnungen, Allgem. Bauztg. 1893, S. 25, 33, 49, 57, 73, 89. – [9] Engesser, Ueber das Eigengewicht schmiedeeiserner Brückenpfeiler, Zeitschr. des Arch.- und Ingen.- Ver. zu Hannover 1894, S. 319 (Bogenbrücken: Zeitschr. für Bauwesen 1877, S. 207; Balkenbrücken: Zeitschr. für Bauwesen 1878, S. 203; Straßenbrücken: Zeitschr. für Baukunde 1881, S. 63). – [10] Ritter, A., Elementare Theorie und Berechnung[630] eiserner Dach- und Brückenkonstruktionen, Hannover 1894 (1. Aufl. 1863). – [11] Hauger, Belastung und Berechnung eiserner Brücken, Allgem. Bauztg. 1896, S. 110. – [12] Weyrauch, Elastische Bogenträger, ihre Theorie und Berechnung entsprechend den Bedürfnissen der Praxis, München 1897. – [13] v. Borries, Beitrag zur überschlägigen Gewichtsermittlung eiserner Brücken, Zentralbl. der Bauverwalt. 1897, S. 156. – [14] Mohr, Beitrag zur Theorie der Träger, Zeitschr. für Arch.- und Ingenieurwesen 1899, S. 585. – [15] Handbuch der Architektur, 1. Teil, Bd. 1, Heft 2: Landsberg, Die Statik der Hochbaukonstruktionen, Stuttgart 1899. – [16] Handbuch der Ingenieurwissenschaft, Bd. 2, 2. Abt.: Brik u. Landsberg, Die eisernen Brücken im allgemeinen, Leipzig 1901. – [17] Dirksen, Die neuen Belastungsvorschriften für die eisernen Brücken der preuß. Staatsbahnverwaltung vom April 1901, Zentralbl. der Bauverwalt. 1901, S. 381. – [18] Müller-Breslau, Die graphische Statik der Brückenkonstruktionen, I und II, Leipzig 1901 und 1903. – [19] Förster, Die Eisenkonstruktionen der Ingenieur-Hochbauten, Leipzig 1903. – [20] Vorschriften für das Entwerfen der Brücken mit eisernem Ueberbau, Zentralbl. der Bauverwalt. 1903, S. 301 (s.a. Eisenbahnbau- und Betriebsordnung, Berlin 1905, Anhang B). – [21] Dirksen, Eigengewichte eingleisiger eiserner Brücken der preuß. Staatsbahn, Zentralbl. 1904, S. 33. – [22] Dirksen, Hilfswerke für die Berechnung eiserner Eisenbahnbrücken, Berlin 1904. – [23] Börner, Statische Tabellen, Belastungsangaben und Formeln, Berlin 1904. – [24] Einige neue Versuche zur Ermittlung der Belastung durch Menschengedränge (Resultate 717 kg, 700 kg, 767 kg pro Quadratmeter), Zentralbl. der Bauverwalt. 1904, S. 380, 504, 520. – [25] Die neuen österr. Vorschriften für den Bau und die Unterhaltung der Eisenbahn- u.s.w. Brücken mit eisernen und hölzernen Tragwerken, Zentralbl. der Bauverwalt. 1904, S. 581 (Wortlaut vom 8. August 1904 in der österr. Zeitschr. für den öff. Baudienst 1904). – [26] »Hütte«, II, Berlin 1905, S. 223. – S.a. Dimensionenberechnung, Eigengewicht, Verkehrslast, Winddruck, Einflußlinien und die Literatur über die einzelnen Konstruktionen.

Weyrauch.

Fig. 1., Fig. 2.

Fig. 3., Fig. 4.

Fig. 5.