Nichtkommutative Potenzreihe


Nichtkommutative Potenzreihe

Nichtkommutative Potenzreihen stellen eine Verallgemeinerung der formalen Potenzreihen dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

Definition

Sei \mathcal{X} eine Menge und W(\mathcal{X}) das freie Monoid über \mathcal{X}. (Dann ist W(\mathcal{X}) = \{ x_1 \cdots x_n | x_i \in \mathcal{X}, \; n \ge 1 \} \cup \{ 1 \}) Sei R ein Ring. Der nichtkommutative Potenzreihenring über R ist definiert als

 R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle := \{ \sum_{x \in W(\mathcal{X})} r_w w | r_w \in R \}\cong \prod_{w \in W(\mathcal{X})} R

Die Addition auf  R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung

 \sum_w a_w w \cdot \sum_w b_w w :=  \sum_w (\sum_{uv=w} a_u b_v) w

definiert.

Eigenschaften

  • Für endliche Mengen \mathcal{X} = \{ X_1 , \ldots , X_n \} schreibt man R \langle \langle X_1, \ldots, X_n \rangle \rangle .
  •  R \langle \langle X \rangle \rangle = R [[X]] für eine Variable X
  •  R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle  / [R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle , R \langle \langle \mathcal{X} \rangle \rangle ] = R [[\mathcal{X}]]

Siehe auch


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