Nichtlineare Gleichung


Nichtlineare Gleichung
Dieser Artikel befasst sich mit mathematischen Gleichungen;

In der Mathematik ist eine Gleichung eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Werte oder Terme durch mathematische Symbole ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitszeichen („=“) symbolisiert. Formal hat eine Gleichung die Gestalt

T1 = T2

mit zwei Termen T1 und T2. Gleichungen sind entweder wahr beziehungsweise erfüllt (z. B. 1 = 1) oder falsch (z. B. 1 = 2). Wenn zumindest einer der Terme T1,T2 von Variablen abhängig ist, liegt nur eine Aussageform vor; ob die Gleichung wahr oder falsch ist, hängt dann von den konkreten eingesetzten Werten ab. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, heißen Lösungen der Gleichung. Sind zwei oder mehr Gleichungen angegeben, spricht man auch von einem Gleichungssystem, eine Lösung desselben muss alle Gleichungen simultan erfüllen.

Gleichungen werden in vielen Zusammenhängen verwendet; dementsprechend gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Gleichungen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten einzuteilen. Die jeweiligen Einteilungen sind zu einem großen Teil unabhängig voneinander, eine Gleichung kann in mehrere dieser Gruppen fallen. So ist es etwa sinnvoll, von einem System linearer partieller Differentialgleichungen zu sprechen.

Inhaltsverzeichnis

Identitäten (Identitätsgleichung)

Gleichungen können allgemeingültig sein, also durch Einsetzen aller Variablenwerte aus einer gegebenen Grundmenge oder zumindest aus einer vorher definierten Teilmenge davon wahr sein. Die Allgemeingültigkeit kann entweder mit anderen Axiomen bewiesen werden oder selber als Axiom vorausgesetzt werden.

Beispiele sind:

In diesem Zusammenhang spricht man manchmal von einer Identität, einem Satz oder einem Gesetz.

Bestimmungsgleichungen

Ist eine Gleichung nicht allgemeingültig, so gibt es gewisse Werte aus der Grundmenge, für die die Gleichung eine wahre Aussage liefert, und gewisse Werte, für die die Gleichung eine falsche Aussage liefert. Häufig besteht eine Aufgabenstellung darin, alle Elemente der Grundmenge zu bestimmen, für die die Gleichung eine wahre Aussage liefert. Diesen Vorgang bezeichnet man als Lösen der Gleichung. Zur Unterscheidung von Identitäten werden solche Gleichungen manchmal als Bestimmungsgleichungen bezeichnet. Die Menge an Werten der Variablen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man als Lösungsmenge der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um die leere Menge handelt, so bezeichnet man die Gleichung als unerfüllbar oder als unlösbar. Ob eine Gleichung lösbar ist oder nicht, hängt auch von der betrachteten Grundmenge ab.

Beispiele:

  • Die Gleichung x2 = 2 ist unlösbar als Gleichung über natürlichen oder rationalen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge \lbrace \sqrt{2}, - \sqrt{2} \rbrace als Gleichung über den reellen Zahlen.
  • Die Gleichung x2 = − 2 ist unlösbar als Gleichung über natürlichen oder reellen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge \lbrace \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i \rbrace als Gleichung über den komplexen Zahlen.

Beim Lösen einer Gleichung ist auch zu beachten, dass erstens die gefundene Lösung Element der Grundmenge sein muss und zweitens die in der Gleichung auftretenden Terme für die Lösung definiert sein müssen. In diesem Zusammenhang wird manchmal von der Definitionsmenge der Gleichung T1(x) = T2(x) gesprochen, die dann als Durchschnittsmenge der Definitionsmengen der Terme T1(x) und T2(x) bestimmt werden kann.

Beispiel:

Die Gleichung

\frac{x}{x-1}=\frac{x+2}{x}+\frac{1}{x(x-1)}

ist für x\in\R zu lösen.

Für x = 0 und x = 1 ist die Gleichung nicht definiert; die Definitionsmenge ist also \R\backslash \lbrace0,1\rbrace. Multiplizieren beider Seiten mit x(x − 1) liefert die Gleichung

x2 = x2 + 2xx − 2 + 1 bzw.
x=1\!.

x = 1 ist aber nicht in der Definitionsmenge der Gleichung enthalten; die Gleichung hat also gar keine Lösung. Tatsächlich war auch die Multiplikation mit x(x − 1) keine Äquivalenzumformung, da dieses Produkt für x = 1 Null ergibt, und Multiplikation mit Null eben keine Äquivalenzumformung ist.

Bei Bestimmungsgleichungen treten mitunter Variable auf, die nicht gesucht sind, sondern als bekannt vorausgesetzt werden. Solche Variablen werden als Parameter (Mathematik) bezeichnet.

Beispiel:

Die Lösungsformel für die quadratische Gleichung

x2 + px + q = 0

lautet bei gegebenen Parametern p,q

x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}.

Setzt man eine dieser beiden Lösungen in die Gleichung ein, so verwandelt sich die Gleichung in eine Identität, wird also für (fast) beliebige Wahl von p und q zur wahren Aussage. Fast beliebig deswegen, weil unter Umständen im Nachhinein die erlaubte Menge der Parameter eingeschränkt werden muss; falls für die quadratische Gleichung nur reelle Lösungen gesucht werden sollen, müssen beispielsweise die Parameter auf q\le\frac{p^2}{4} eingeschränkt werden.

Einteilung nach Anzahl der Gleichungen und Unbekannten

Häufig wird ein Gleichungssystem, also mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, betrachtet, im Normalfall sind auch mehreren Variablen enthalten. Grundlegend ist die Theorie der linearen Gleichungssysteme, bekanntester Lösungsalgorithmus ist der gaußsche Algorithmus.

Beispiel:

x + y + z = 5
2xz = 13

ist ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten (x,y,z)

Die Zählung der Gleichungen und Unbekannten kann aber je nach Zusammenhang unterschiedlich aufgefasst werden. Fasst man beispielsweise sowohl die Gleichungen als auch die Unbekannten zu Tupeln zusammen, so lässt sich jedes Gleichungssystem auch als eine einzige Gleichung für eine einzige Unbekannte auffassen. So wird beispielsweise obiges Gleichungssystem zur Gleichung

 \begin{pmatrix}1&1&1 \\ 2&0&-1\end{pmatrix}\cdot \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x+y+z \\ 2x-z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\ 13\end{pmatrix}

für das Tupel

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x \\ y\\z\end{pmatrix}.

Insbesondere in der Linearen Algebra werden Gleichungssysteme auf diese Art zusammengefasst.

Eine Faustregel besagt, dass man gleich viele Gleichungen wie Unbekannte benötigt, damit ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Das ist aber tatsächlich nur eine Faustregel; bis zu einem gewissen Grad gilt sie wegen des Hauptsatzes über implizite Funktionen für reelle Gleichungen für reelle Unbekannte; bei Diophantischen Gleichungen hingegen werden üblicherweise weniger Gleichungen als Unbekannte betrachtet.

Einteilung nach der rechten Seite der Gleichung

Für einige Formen der rechten Seite der Gleichung haben sich bestimmte Namen eingebürgert:

  • Bei einer Gleichung der Form T(x) = 0 heißt die Lösung x Nullstelle der Gleichung.
  • Eine Gleichung der Form T(x) = λx, wobei λ und x\neq 0 gemeinsam gesucht werden, heißt Eigenwertproblem.

Einteilung nach (Nicht)Linearität

Lineare Gleichungen

Eine Gleichung der Form

T\left(x\right)=a

heißt linear, wenn der Term a unabhängig von x und der Term T(x) linear in x ist, also

T\left(\lambda x + \mu y\right)=\lambda T\left( x \right) + \mu T\left( y\right)

für Koeffizienten λ,μ (z. B. reelle oder komplexe Zahlen, je nach betrachteter Situation) gilt. Sinnvollerweise müssen die passenden Operationen definiert sein, es ist also notwendig, dass T(x) und a aus einem Vektorraum V sind, und die Lösung x aus dem gleichen oder einem anderen Vektorraum W gesucht wird. Die Gleichung T(x) = a wird dabei als inhomogene Gleichung bezeichnet; T(x) = 0 ist die dazugehörige homogene Gleichung.

Lineare Gleichungen sind normalerweise wesentlich einfacher zu lösen als nichtlineare. So gilt für lineare Gleichungen, egal ob es sich beispielsweise um lineare Diophantische Gleichungen, lineare Differenzengleichungen oder gewöhnliche lineare Differentialgleichungen handelt, die sehr einfache, aber mächtige Aussage, dass die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung die Summe einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung plus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung ist.

Formal bedeutet dies: ist x0 eine beliebige (partikuläre) Lösung der inhomogenen Gleichung, also

T\left(x_0\right)=a

eine x beliebige (allgemeine) Lösung der homogenen Gleichung, also

T\left(x\right)=0,

so löst wegen der Linearität auch die allgemeine Lösung x0 + x die inhomogene Gleichung:

T\left(x_0+x\right)=T\left(x_0\right)+T\left(x\right)=a+0=a.

Umgekehrt ist jede Lösung x1 der inhomogenen Gleichung so darstellbar, also x1 = x0 + x, wobei x die homogene Gleichung löst, denn

T\left(x\right)=T\left(-x_0+x_1\right)=-T\left(x_0\right)+T\left(x_1\right)=-a+a=0.

Wegen der Linearität ist zumindest x = 0 eine Lösung der homogenen Gleichung. Hat die homogene Gleichung also eine eindeutige Lösung, so hat auch die inhomogene Gleichung höchstens eine Lösung. Eine verwandte, aber wesentlich tiefer gehende Aussage in der Funktionalanalysis ist die Fredholmsche Alternative.

Nichtlineare Gleichungen

Nichtlineare Gleichungen werden nach der Art der Nichtlinearität unterschieden. Ist der nichtlineare Term beispielsweise ein Polynom, so spricht man von algebraischen Gleichungen:

ax2 + bx + c = 0

ax3 + bx2 + cx + d = 0

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

Treten die Unbekannten in einem trigonometrischen Term auf, so spricht man von einer goniometrischen oder trigonometrischen Gleichung. Dabei ist darauf zu achten, ob die Lösungsmenge der Gleichung auf ein bestimmtes Intervall (z. B. 0 \leq x \leq 2\pi \! oder 0^{\circ} \leq \alpha \leq 360^{\circ} \!) beschränkt ist, da sich ansonsten die Lösung periodisch wiederholt und durch eine ganzzahlinge Variable k \! parameterisiert werden muss.

  • Beispiel: I = (0,2π); \sin(x) = 0 \Rightarrow x = \pi\, \!
  • Beispiel: sinx = cosx
    • Zunächst ist \cos x\not=0, denn andernfalls wäre sinx = cosx = 0, aber das ist wegen sin2x + cos2x = 1 unmöglich.
    • Also sind die folgenden Gleichungen äquivalent:
      \sin x=\cos x\iff\frac{\sin x}{\cos x} = 1 \iff \tan x = 1.
    • Die letzte Gleichung gilt nun genau für die x, die sich als
      x = \frac{\pi}{4} + \pi k
mit einer ganzen Zahl k schreiben lassen (siehe Tangens).

Einteilung nach den gesuchten Unbekannten

Algebraische Gleichung

Um Gleichungen, bei denen eine reelle Zahl gesucht wird, beispielsweise von Differentialgleichungen zu unterscheiden, wird manchmal ebenfalls die Bezeichnung algebraische Gleichung verwendet, wobei diese Bezeichnung dann aber nicht auf ein Polynom eingeschränkt ist. Diese Sprechweise ist umstritten.

Diophantische Gleichung

Sucht man lediglich ganzzahlige Lösungen, so spricht man von einer Diophantischen Gleichung.

Differenzengleichung

Ist die Unbekannte eine Folge, so spricht man von einer Differenzengleichung.

Gleichungen für Funktionen

Funktionalgleichungen

Ist die Unbekannte der Gleichung eine Funktion, die ohne Ableitung auftritt, so spricht man von einer Funktionalgleichung.

Differentialgleichungen

Wird in der Gleichung eine Funktion gesucht, die mit Ableitung auftritt, so spricht man von einer Differentialgleichung. Differentialgleichungen treten bei der Modellierung von naturwissenschaftlichen Problemen (Physik, Chemie, Biologie) sehr häufig auf. Die höchste auftretende Ableitung wird dabei Ordnung der Differentialgleichung genannt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Treten in der Gleichung nur Ableitungen nach einer einzigen Variablen auf, so spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen

  • Beispiel: gewöhnliche DGL 1. Ordnung y' = y, mit der allgemeinen Lösung y(x) = Cex
  • Beispiel: gewöhnliche DGL 2. Ordnung y'' + y = 0, mit der allgemeinen Lösung y(x) = Acos(x) + Bsin(x)
  • Beispiel: gewöhnliche DGL 2. Ordnung x2y'' + xy' = a, mit der allgemeinen Lösung y(x) = a\frac{\ln^2(x)}{2} + C_1\ln(x) + C_2

Partielle Differentialgleichungen

Treten in der Gleichung partielle Ableitungen nach mehreren Variablen auf, so spricht man von partiellen Differentialgleichungen.

partielle DGL 2. Ordnung \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = a\frac{\partial \psi}{\partial t} bzw. ψxx = aψt, mit der allgemeinen Lösung: \psi(x,t) = \mathrm e^{-\frac{\lambda^2 t}{a}} \left( A\sin(\lambda x) + B\cos(\lambda x) \right)

Algebro-Differentialgleichungen

Treten sowohl algebraische als auch Differentialgleichungen gemeinsam auf, so spricht man von Algebro-Differentialgleichungen.

Integralgleichungen

Tritt die gesuchte Funktion in einem Integral auf, so spricht man von einer Integralgleichung.

Gleichungsketten

Befinden sich in einer Zeile mehrere Gleichheitszeichen, so spricht man von einer Gleichungskette. In einer Gleichungskette sind alle durch Gleichheitszeichen getrennten Ausdrücke vom Wert her gleich. Dabei ist jeder dieser Ausdrücke als Ganzes zu betrachten. Die Gleichungskette
17+3=20:2=10+7=17 ist also falsch, weil sie in Einzelgleichungen zerlegt zu falschen Aussagen führt (17+3 ist nicht gleich 20:2 u.s.w.). Richtig ist dagegen
17+3=18+2=21−1=40:2.

Gleichungsketten sind insbesondere wegen der Transitivität der Gleichheitsrelation sinnvoll interpretierbar.

Gleichungsketten treten oft auch gemeinsam mit Ungleichungen in diversen Abschätzungen auf, so gilt beispielsweise für n\ge 3

2n^2 =n^2+n^2\ge n^2+3n > n^2+2n+1=(n+1)^2.

Lösen von Gleichungen

Siehe auch Hauptartikel Lösen von Gleichungen.

Analytische Lösung

Soweit es möglich ist, versucht man, die Lösungen einer Gleichung exakt zu bestimmen. Wichtigstes Hilfsmittel dabei ist die Äquivalenzumformung, bei der eine Gleichung schrittweise in andere äquivalente Gleichungen (die also dieselbe Lösungsmenge haben) umgeformt wird, bis man eine Gleichung erhält, deren Lösung einfach bestimmt werden kann.

Numerische Lösung

Viele Gleichungen, insbesondere aus naturwissenschaftlichen Anwendungen, können nicht analytisch gelöst werden. In diesem Fall versucht man, am Computer eine näherungsweise numerische Lösung zu berechnen. Solche Verfahren werden in der numerischen Mathematik behandelt. Viele algebraische oder Differential-Gleichungen lassen sich approximativ lösen, indem die in der Gleichung auftretenden nichtlinearen Funktionen durch ihre Ableitungen (falls diese existieren!) linear angenähert werden, und dann das daraus entstehende lineare Gleichungssystem gelöst wird, was zum Newton-Verfahren führt. Für andere Problemklassen, etwa bei der Lösung von Gleichungen in unendlich-dimensionalen Räumen, wird die Lösung in geeignet gewählten endlich-dimensionalen Unterräumen gesucht (sogenannte Galerkin-Approximation).

Qualitative Analyse

Wenn eine Gleichung nicht analytisch gelöst werden kann, ist es oft dennoch möglich, mathematische Aussagen über die Lösung zu treffen. Insbesondere interessieren Fragestellungen der Art, ob eine Lösung überhaupt existiert, ob sie eindeutig ist, und ob die Lösung stetig von den Parametern der Gleichung abhängt. Eine qualitative Analyse ist auch bzw. gerade bei einer numerischen Lösung der Gleichung wichtig, damit sichergestellt ist, dass die numerische Lösung tatsächlich eine näherungsweise Lösung der Gleichung liefert und nicht irgendwelche sinnlosen Zahlen. Jacques Salomon Hadamard hat in diesem Zusammenhang den Begriff korrekt gestelltes Problem geprägt.

Verwandte Begriffe

Ungleichungen

Im Gegensatz zu Gleichungen wird bei Ungleichungen keine Aussage über Gleichheit zweier Terme, sondern über deren relative Größe oder Ordnung gemacht.

Definitionen

Gleichungen können auch verwendet werden, um ein neues Symbol zu definieren. In diesem Fall wird das zu definierende Symbol links geschrieben, und das Gleichheitszeichen oft durch := ersetzt oder über das Gleichheitszeichen „def“ geschrieben.

Beispiel: Definition der Ableitung einer Funktion:

f'(x_0) := \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

Im Gegensatz zu Identitäten sind Definitionen keine Aussagen; sie sind also weder wahr noch falsch, sondern nur mehr oder weniger zweckmäßig.

Optimierungsaufgaben

Optimierungsaufgaben können als eine Verallgemeinerung von Gleichungen aufgefasst werden, indem nicht die Gleichheit zweier Terme gefordert wird, sondern beispielsweise, dass deren Differenz minimal wird. Insbesondere bei der Suche nach numerischen Lösungen ergeben sich viele Überschneidungen von Optimierungsaufgaben und Gleichungen.

Einheitenbehaftete Gleichungen

Die praktische Anwendung von Gleichungen in der Physik und im Ingenieurswesen erfordert das Mitführen von Einheiten. Das kann zu inkonsistenten fehlerträchigen Zahlenwertgleichungen führen. Die Prüfung auf Einheitenkonsistenz kann aber auch ein effizientes Hilfsmittel zur Plausibilitätsprüfung von Herleitungen sein.

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