Nichtlineare Systeme


Nichtlineare Systeme

Nichtlineare Systeme sind Systeme, welche auf Eingangssignale (Systemreize) nicht in jedem Bereich proportional antworten. Sie sind wesentlich komplexer als lineare Systeme und somit auch Gegenstand der allgemeinen Systemtheorie.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Grundlagen

Für Nichtlineare Systeme (Abk.: NL-Systeme) gilt, im Gegensatz zu linearen Systemen, das Superpositionsprinzip nicht. Das heißt, man kann nicht von mehreren bekannten Systemreiz-Systemantwort-Paaren auf eine unbekannte Systemantwort zu gegebenem Systemreiz schließen. Ferner unterscheidet man die Nichtlinearität eines Systems in statische, dynamische, einwertige und mehrwertige Nichtlinearität. Zu dynamischen Systemen sagt man auch Systeme mit Energiespeicher. Da es zu nichtlinearen Systemen keine geschlossene mathematische Theorie gibt, gibt es auch keine allgemeine Methode zur Analyse unbekannter nichtlinearer Systeme.[1] Die meisten in der Natur vorkommenden Systeme sind nichtlinear.

Statische nichtlineare Systeme

Unter statischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die ohne Zeitverzögerung auf einen Systemreiz reagieren. Zum Beispiel ist die Gleichrichterkennlinie einer idealen Diode, die allgemein als linear bezeichnet wird, im systemtheoretischen Sinne nichtlinear, da die Systemantwort für negative Eingangswerte null wird, sowie statisch. Statische Systeme können durch eine statische Kennlinie beschrieben werden, wie sie in den Abbildungen gezeigt werden.

Bild:lin-vs-nonlin.png

Veranschaulichung einer linearen (linkes Diagramm) gegenüber einer nichtlinearen (rechtes Diagramm) Kennlinie. Die gestrichelte Diagonale veranschaulicht die lineare bzw. nichtlineare Transformation, die schwarze Kurve ist das Eingangs-, die blaue das Ausgangssignal. Statische Systeme können im allgemeinen durch lineare algebraische Gleichungen beschrieben werden.

Dynamische nichtlineare Systeme

Unter dynamischen nichtlinearen Systemen, versteht man solche, die auch Speicherelemente besitzen. Dadurch kann die Systemantwort nicht vom augenblicklichen Wert des Systemreizes bestimmt werden. Die Systemantwort hängt somit auch von der Vorgeschichte, also von der Stärke der vorangehenden Erregung ab[2]. Weitere Informationen findet man im Artikel: Dynamisches System.

Charakterisierung der Nichtlinearen Systeme bezüglich ihres Frequenzverhaltens

Bei Erregung linearer Systeme mit einem Sinus-Signal bekommt man am Ausgang wiederum ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz, lediglich mit veränderter Phasenlage und Amplitude.

Diese Eigenschaft weisen nichtlineare Systeme im allgemeinen nicht auf. Nichtlineare System können an ihrem Systemausgang Frequenzanteile aufweisen, welche im Eingangssignal nicht enthalten sind (Verzerrung).

Literatur und Quellen

  1. Holk Cruse, Biologische Kybernetik, Verlag Chemie GmbH Weinheim (1981), ISBN 3-527-25911-2
  2. Dezsö Varjú, Systemtheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg(1977), ISBN 3-540-08086-4
  • Mathukumalli Vidyasagar: Nonlinear systems analysis SIAMm Philadelphia 2008, ISBN 978-0-89871-526-2
  • Muthuswamy Lakshmanan, (et al.): Nonlinear dynamics - integrability, chaos, and patterns. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43908-0

Siehe auch


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