No-Arbitrage-Modell


No-Arbitrage-Modell

Unter der Arbitragefreiheit wird das Fehlen jeder Möglichkeit zur (ökonomischen) Arbitrage verstanden. Dieser Begriff wurde insbesondere für die Finanzmärkte geprägt. Durch den internationalen, elektronischen Handel an diesen Märkten und die schnelle, weltweite Verbreitung von neuen Informationen passen die Marktteilnehmer die Preise ihrer Produkte so schnell an, dass Arbitragemöglichkeiten in der Regel nur für sehr kurze Zeiträume bestehen. Meist sind jedoch die Transaktionskosten höher als die durch Arbitrage erzielbaren Gewinne.

Inhaltsverzeichnis

Bedeutung

Die Arbitragefreiheit ist eine der Grundannahmen der modernen Finanzmathematik: In gleichgewichtigen Modellen werden die Preise als endogene Variablen bestimmt, d.h. die Preise werden in Abhängigkeit von den Angebots- und Nachfragemengen so lange angepasst, bis sich der Markt im Gleichgewicht befindet. Dieser Anpassungsprozess hat keinerlei Auswirkungen auf die Preise anderer Güter. In den 1980er Jahren wurden die Unzulänglichkeiten dieser Modelle deutlich, als die auf ihnen basierenden Zinsstrukturkurven für festverzinsliche Derivate nicht den tatsächlichen Kurven entsprachen und damit für den Handel unbrauchbar wurden, da sie nicht dem Gesetz des Einheitspreises (engl. law of one price) entsprachen.

Arbitragefreie (auch engl. no-arbitrage oder arbitrage-free) Modelle hingegen bestimmen die Preise exogen, d.h. die Marktpreise fließen in das Modell direkt ein, und die aus ihnen entwickelten Zinsstrukturkurven entsprechen der Realität. Die ersten zinsstrukturkonformen Bewertungen wurden durch die Arbeit von Thomas Ho und Sang-Bin Lee und später David Heath, Robert Jarrow und Andrew Morton möglich. Alle heute in der Praxis zur Bewertung von Derivaten eingesetzten Modelle sind arbitragefrei.

Formale Darstellung

Formal kann die no-arbitrage Bedingung so beschrieben werden:
Es gibt kein Portfolio mit dem Wert Null zum Zeitpunkt t=0, das an T>t einen sicher nichtnegativen Wert und mit positiver Wahrscheinlichkeit einen positiven Wert hat.

Definitionen

Folgende Tabelle zeigt die unterschiedlichen No Arbitrage-Definitionen, die von links nach rechts gelesen in ihren Anforderungen stärker werden. No free lunch bedeutet, dass es keine Position geben kann, in der es heute einen sicheren Konsum gibt,ohne jegliche Gegenleistung heute oder morgen. No free lottery, dass es keine Position geben kann, in der man eine Chance auf einen Gewinn hat, ohne dass man dafür Geld einsetzt.

No Arbitrage-Definitionen
Typ 1: No free lottery Typ 2: No free lunch Gesetz des einen Preises (Law of one price)
Ein Portfolio mit sicherem Gewinn ohne Nettokapitaleinsatz ist nicht möglich. Ein Portfolio mit einem sicheren Nettozufluss in t=0 ohne zukünftige Zahlungsverpflichtung ist nicht möglich. Zwei Instrumente mit zukünftigen identischen Cash Flows müssen heute den gleichen Preis haben.

Siehe auch

Literatur

  • Thomas Ho und Sang-Bin Lee: Term structure movements and pricing interest rate contingent claims Journal of Finance, 41 (5), 1011–1029 (1986)
  • David Heath, Robert Jarrow und Andrew Morton: Bond pricing and the term structure of interest rates Econometrica, 60 (1), 77–105 (1992)
  • Föllmer / Schied: Stochastic Finance, de Gruyter Studies in Mathematics 27, 2nd ed.

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