Nullmatrix

Nullmatrix

In der linearen Algebra (Mathematik) ist eine Nullmatrix eine Matrix, deren Elemente alle 0 sind.

Damit ist aber nicht gemeint, dass solch eine Matrix keinen Inhalt hat, dieser ist einfach Null. Eine Matrix ohne Inhalte, d. h. bei der die Zeilenlänge m oder die Spaltenlänge n gleich Null ist, wird leere Matrix genannt. [1]

Beispiele


0_{1,1} = \begin{pmatrix}
0 
\end{pmatrix}
,\ 

0_{2,2} = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix}
,\ 

0_{3,4} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}

Betrachtet man Matrizen über einem beliebigen Ring R mit dem Nullelement 0R, dann versteht man unter einer Nullmatrix eine Matrix deren Elemente alle mit 0R übereinstimmen.


0^R_{2,2} = \begin{pmatrix}
0_R & 0_R \\
0_R & 0_R 
\end{pmatrix}
,\ 
0^R_{3,2} = \begin{pmatrix}
0_R & 0_R \\
0_R & 0_R \\
0_R & 0_R 
\end{pmatrix}

Die Nullmatrix ist das neutrale Element bzgl. Addition im Ring der m×n Matrizen R^{n\times m} (sog. Matrizenaddition) und stellt somit in dem Fall, dass R ein Körper ist, den Nullvektor im Vektorraum R^{n\times m} dar. Das entsprechende Einselement wäre dann die Einheitsmatrix.

Die Nullmatrix repräsentiert die Nullabbildung, also die (lineare) Abbildung, die alle Vektoren auf den Nullvektor abbildet.

Quelle

  1. Bosch: Lineare Algebra, Springer, ISBN 3540298843, Seite 91

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