Nullteiler

Nullteiler

In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ein vom Nullelement 0 verschiedenes Element a, für das es ein vom Nullelement 0 verschiedenes Element b gibt, so dass ab = 0.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ist R ein Ring und a \in R\setminus \{0\}, dann unterscheidet man zwischen:

  • Linksnullteiler: Es gibt ein Element b \in R\setminus \{0\}, so dass ab = 0.
  • Rechtsnullteiler: Es gibt ein Element b \in R\setminus \{0\}, so dass ba = 0.
  • (zweiseitiger) Nullteiler: a ist sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler.
  • Linksnichtnullteiler: a ist kein Linksnullteiler.
  • Rechtsnichtnullteiler: a ist kein Rechtsnullteiler.
  • (zweiseitiger) Nichtnullteiler: a ist weder Links- noch Rechtsnullteiler, oft auch reguläres Element genannt.

In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen alle sechs Begriffe schlicht zu Nullteiler und Nichtnullteiler zusammen.

Manche Autoren lassen auch die 0 als Nullteiler zu, das heißt sie verzichten auf die Bedingung a\neq 0. Dann ist 0 stets ein Nullteiler und man nennt von 0 verschiedene Links-, Rechts- oder zweiseitige Nullteiler echt. Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Einselement 1 \neq 0 heißt Integritätsring.

Beispiele

Der Ring \mathbb{Z} der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring \mathbb{Z}^2 (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) enthält zum Beispiel die Nullteiler (0,1) und (1,0), denn (0, 1) \cdot (1, 0) = (0, 0).

Jeder Körper ist nullteilerfrei, denn jedes von 0 verschiedene Element ist eine Einheit (siehe unten).

Der Restklassenring \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} hat die Nullteiler 2, 3 und 4, denn 2 \cdot 3 \equiv 4 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6.

Allgemein ist für eine natürliche Zahl n > 1 der Restklassenring \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn n eine Primzahl ist.

Der Ring der reellen 2x2-Matrizen enthält beispielsweise die Nullteiler


  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ 2 & 2
  \end{pmatrix}
und \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ -1 & -1
  \end{pmatrix}

denn


  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ 2 & 2
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ -1 & -1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    2 & -1 \\ 2 & -1
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 \\ 2 & 2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\ 0 & 0
  \end{pmatrix}.

Allgemein sind die Nullteiler im Ring der n\times n Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).

Ein weiteres Beispiel für Nullteiler liefern die Sedenionen:

(e_3 + e_{10}) \times (e_6 - e_{15}) = e_3e_6 + e_{10}e_6 - e_3e_{15} - e_{10}e_{15} = e_5 + e_{12} - e_{12}  - e_5 = 0

Eigenschaften

In Ringen ist ein Element genau dann Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es Links-, Rechts- bzw. zweiseitig kürzbar ist.

Idempotente Elemente ungleich 1 eines Rings sind Nullteiler, denn aus a2 = a folgt a \cdot (a - 1) = (a - 1) \cdot a = 0. Nilpotente Elemente ungleich 0 (x mit xn = 0 für ein n \in \mathbb{N}) sind trivialerweise Nullteiler.

Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre a invertierbar und ab = 0, dann wäre 0= a^{-1} \cdot 0 = a^{-1}ab = b.

In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement (1 \cdot a = a \cdot 1 = a für alle a) gilt diese Aussage nur so: Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.)

Ist a ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes b das Produkt ba ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich null. Das Produkt ab muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings R im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente A und B einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da AB = E die Einheitsmatrix ist).

Siehe auch


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