Numerische Verfahren


Numerische Verfahren

Die Liste numerischer Verfahren führt Verfahren der numerischen Mathematik nach Anwendungsgebieten auf.

Inhaltsverzeichnis

Lineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme

  • Bisektion: Ein sehr einfaches Verfahren zur Nullstellensuche, welches auf Halbierung eines Intervalls beruht. Konvergiert linear, der Fehler halbiert sich etwa in jedem Iterationsschritt.
  • Bisektion-Exklusion: Spezielles Bisektionsverfahren für Polynome, welches alle Nullstellen innerhalb einer Startregion beliebig genau einschränkt.
  • Regula Falsi, Sekantenverfahren: Einfache iterative Verfahren zur Nullstellenbestimmung eindimensionaler Funktionen.
  • Fixpunktverfahren: Eine Klasse linear konvergenter Verfahren zum Auffinden von Fixpunkten von Funktionen, auch im Mehrdimensionalen.
  • Newton-Verfahren: Ein quadratisch konvergentes Verfahren zum Auffinden von Nullstellen differenzierbarer Funktionen. Auch im Mehrdimensionalen anwendbar, dann ist in jedem Iterationsschritt ein lineares Gleichungssystem zu lösen.
  • Quasi-Newton-Verfahren: Eine Abwandlung des Newton-Verfahrens bei dem lediglich eine Näherung der Ableitung genutzt wird.
  • Halley-Verfahren, Euler-Tschebyschow-Verfahren: kubisch konvergente Verfahren zum Auffinden von Nullstellen zweimal differenzierbarer Funktionen. Auch im Mehrdimensionalen anwendbar. Dann sind in jedem Schritt zwei lineare Gleichungssysteme zu lösen.
  • Gradientenverfahren: Ein langsames Verfahren zur Lösung eines Minimierungsproblems.
  • Gauß-Newton-Verfahren: Ein lokal quadratisch konvergentes Verfahren zur Lösung nichtlinearer Ausgleichsprobleme.
  • Levenberg-Marquardt-Algorithmus: Eine Verbindung des Gauß-Newton-Verfahren mit einer Trust-Region Strategie.
  • Homotopieverfahren: Eine Methode, bei der ein frei wählbares Problem mit einfacher Lösung mit einem vorgegebenen Problem stetig verbunden wird. In vielen Fällen kann die Lösung des einfachen Problems zu einer Lösung des eigentlichen Problems verfolgt werden.
  • Bairstow-Verfahren: Ein spezielles Iterationsverfahren, um komplexe Nullstellen von Polynomen mittels reeller Operationen zu bestimmen.
  • Weierstrass-(Dochev-Durand-Kerner-Presic)-Verfahren, Aberth-Ehrlich-Verfahren, Trennkreisverfahren: Spezielle, aus dem Newton-Verfahren abgeleitete Methoden zur simultanen Bestimmung aller komplexen Nullstellen eines Polynoms.

Numerische Integration

Approximation und Interpolation

Optimierung

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen

  • Eulersches Polygonzugverfahren: Das einfachste Lösungsverfahren, ein 1-stufiges Einschrittverfahren.
  • Einschrittverfahren: Verfahren, die nur Informationen des aktuellen Zeitschrittes benutzen, um daraus die nächste Näherung zu berechnen.
  • Mehrschrittverfahren: Verfahren, die Informationen der letzten Zeitschritte nutzen. In Abhängigkeit von der Zahl der Zeitschritte sind die entsprechenden Startwerte z.B. mit einem Einschrittverfahren zu ermitteln.
  • Adams-Bashforth-Verfahren: Familie von expliziten Mehrschrittverfahren .
  • Adams-Moulton-Verfahren: Familie von impliziten Mehrschrittverfahren.
  • Prädiktor-Korrektor-Verfahren: Die Kombination eines expliziten und eines impliziten Mehrschrittverfahrens gleicher Fehlerordnung. Das explizite Verfahren ergibt eine Näherung (den sogenannten Prädiktor), das implizite Verfahren verbessert den Näherungswert (der sogenannte Korrektor).
  • Runge-Kutta-Verfahren: Familie von Einschrittverfahren inkl. dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren.
  • Leapfrog-Verfahren: Abgewandeltes Eulerverfahren mit Termen nur zweiter Ordnung (z.B. für Planetenbewegung), bei dem die Zeitschritte für Ort und Geschwindigkeit um die halbe Integrationschrittweite versetzt sind. Dadurch wird höhere Genauigkeit und Zeitsymmetrie erreicht.

Numerik partieller Differentialgleichungen

  • Finite-Elemente-Methode: Ein modernes, flexibles Verfahren zur Lösung vor allem elliptischer partieller Differentialgleichungen.
  • Finite-Volumen-Verfahren: Ein modernes Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen.
  • Finite-Differenzen-Methode: Ein klassisches Verfahren für beliebige partielle Differentialgleichungen.
  • Randelementmethode: Ein Verfahren zur Lösung elliptischer PDGLen, wobei lediglich der Gebietsrand und nicht das Gebiet selbst (wie z.B. bei der FEM) zu diskretisieren ist.
  • Spektralmethode: Ein neuartiges Verfahren, das zur Diskretisierung Polynome sehr hoher Ordnung benutzt.
  • Level-Set-Methode: Eine moderne Methode zur Verfolgung von bewegten Rändern.
  • Finite-Punkte-Methode: ein neueres Berechnungsverfahren nur mit Punkten, aber ohne Elemente.
  • Finite-Streifen-Methode: spezielle, vereinfachte Form der FEM mit Streifen als Elemente
  • Orthogonale Kollokation: Verfahren für beliebige partielle Differentialgleichung, oft kombiniert mit dem Finite-Differenzen-Verfahren.

Berechnung von Eigenwerten

  • QR-Algorithmus: Berechnung aller Eigenwerte, allerdings mit hohen Kosten verbunden.
  • LR-Algorithmus: Auch Treppeniteration genannt, ein dem QR-Verfahren vergleichbarer aber weniger stabiler Algorithmus.
  • Potenzmethode: Diese erlaubt die Berechnung des betragsgrößten Eigenwertes.
  • Unterraumiteration: Diese ist eine mehrdimensionale Erweiterung der Potenzmethode und erlaubt die gleichzeitige Berechnung mehrerer der betragsgrößten Eigenwerte.
  • Inverse Iteration: Diese erlaubt die schnelle Berechnung von Eigenwerten nahe einem Shift.
  • Rayleigh-Quotienten-Iteration: Eine spezielle sehr schnell konvergierende Variante der Inversen Iteration mit Shift.
  • Lanczos-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen.
  • Arnoldi-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen.
  • Jacobi-Verfahren: Berechnung aller Eigenwerte und Eigenvektoren von kleinen symmetrischen Matrizen.
  • Jacobi-Davidson-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen.

Sonstiges


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