Observable


Observable

Eine Observable (lat. observabilis = beobachtbar) ist in der Physik, insbesondere in der Quantenphysik, der formale Name für eine Messgröße bzw. für eine spezielle Klasse von Operatoren, die in einem abstrakten Hilbert-Raum wirken. Beispiele für Observablen sind die Energie, die Ortskoordinaten, die Koordinaten des Impulses und die Komponenten des Spins eines Teilchens. Ein wichtiges Beispiel sind die Pauli-Matrizen.

Von-Neumann'sche Theorie

Im traditionellen von-Neumann'schen mathematischen Formalismus der Quantenmechanik werden Observablen durch selbstadjungierte lineare Operatoren A auf einem Hilbertraum \mathcal{H} dargestellt. Der Begriff „Observable“ wird oft synonym für die Messgröße, sowie für den zugeordneten Operator verwendet. Diese Theorie verallgemeinert die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Das Ergebnis einer Messung der Observablen A eines quantenmechanischen Systems, dessen Zustand durch einen normierten Vektor \Psi\in\mathcal{H} beschrieben wird, ist zufällig. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Messwert auftreten kann, ist durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben:

P[B]=\langle\Psi|\lambda(B)\Psi\rangle

wobei λ das Spektralmaß von A nach dem Spektralsatz bezeichnet.

Wird allgemeiner der quantenmechanische Zustand des Systems durch einen Dichteoperator ρ beschrieben, so wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Messergebnisses durch

P[B]=\operatorname{Spur}(\lambda(B)\rho)

gegeben.

Der Erwartungswert des Messergebnisses, also der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung P, wird durch \langle\Psi|A|\Psi\rangle bzw. durch \operatorname{Spur}(A\rho) gegeben.

Im Spezialfall, dass das Spektrum von A diskret und einfach ist, sind die möglichen Messergebnisse die Eigenwerte von A. Die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert a als Messergebnis zu finden, lautet dann \langle\phi_a|\Psi\rangle^2 bzw. \langle\phi_a|\rho\phi_a\rangle, wobei ϕa einen normierten Eigenvektor zum Eigenwert a bezeichnet.

Beispiele:

  • Der Observablen „Ort“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Multiplikationsoperator mit x über L_2(\mathbb{R}), der Ortsoperator.
  • Der Observablen „Impuls“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Differentialoperator \frac{\hbar}{\mathrm i}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} über L_2(\mathbb{R}); genauer gesagt dessen selbstadjungierte Fortsetzung, der Impulsoperator. Hierbei bezeichnet \hbar das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum.
  • Der Observablen „Energie“ entspricht der Hamiltonoperator.

Moderne Beschreibung durch POVM

Hauptartikel: Positive operator valued probability measure (POVM)

Nicht in den traditionellen von-Neumann'schen Formalismus passt die Beschreibung von Zeitmessungen, zum Beispiel der Ankunftszeit eines Teilchens in einem Detektor. Eine genauere realistische formale Modellierung realer Experimente zeigt, dass auch die meisten realen Messungen an Quantensystemen nicht genau durch von-Neumannsche Observable beschrieben werden. Diese Defekte behebt die allgemeinere Beschreibung quantenmechanischer Observablen durch POVM.


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  • observable — [ ɔpsɛrvabl ] adj. • 1587; « qui doit être observé » fin XVe; lat. observabilis ♦ Qui peut être observé. Éclipse observable dans telle région. ⊗ CONTR. Inobservable. ● observable adjectif Qu on peut observer : Phénomène observable au télescope. ● …   Encyclopédie Universelle

  • Observable — Ob*serv a*ble, a. [L. observabilis: cf. F. observable.] 1. Capable of being observed; discernible; noticeable. Sir. T. Browne. [1913 Webster] The difference is sufficiently observable. Southey. [1913 Webster] 2. Worthy of being observed;… …   The Collaborative International Dictionary of English

  • observable — (adj.) c.1600, from L. observabilis remarkable, observable, from observare (see OBSERVE (Cf. observe)). Related: Observably; observability …   Etymology dictionary

  • observable — [əb zʉrv′ə bəl] adj. [L observabilis] 1. that can be observed; visible; discernible; noticeable 2. deserving of attention; noteworthy 3. that can or must be kept or celebrated [an observable holiday] observably adv …   English World dictionary

  • observable — index appreciable, blatant (conspicuous), clear (apparent), conspicuous, determinable (ascertainable) …   Law dictionary

  • observable — [adj] apparent appreciable, clear, detectable, discernible, discoverable, evident, noticeable, obvious, open, palpable, patent, perceivable, perceptible, recognizable, sensible, tangible, visible; concepts 529,576 Ant. hidden, imperceptible,… …   New thesaurus

  • observable — (Del lat. observabĭlis). adj. Que se puede observar …   Diccionario de la lengua española

  • Observable — Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c est à dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d un paramètre physique, ou plus généralement une information sur un système physique) est représentée par ce qu il… …   Wikipédia en Français

  • Observable — This article is about observables in physics. For the use of the term observable in control theory, see Observability. In physics, particularly in quantum physics, a system observable is a property of the system state that can be determined by… …   Wikipedia

  • Observable — En física cuántica, un observable es toda propiedad del estado de un sistema que puede ser determinada ( observada ) por alguna secuencia de operaciones físicas. Estas operaciones pueden incluir, por ejemplo, el someter al sistema a diversos… …   Wikipedia Español

  • Observable — ► adjetivo Que puede ser observado: ■ los planetas del sistema solar son observables con un telescopio. SINÓNIMO apreciable perceptible * * * observable adj. Susceptible de ser notado. ≃ *Apreciable, *perceptible. * * * observable. (Del lat.… …   Enciclopedia Universal