Ortsoperator


Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand \Psi\, eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor |\Psi \rangle beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen \hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3), so dass

E(\hat{x}_j)=\langle \Psi|\hat{x}_j|\Psi\rangle\ ,\quad j=1,2,3

der Mittelwert (Erwartungswert) der Meßergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand \,\Psi ist.

Definition und Eigenschaften

 [\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad
[\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}\,.
  • Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum \mathbb{R}^3 besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
  • Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums \mathbb{R}^3, jeder Zustand Ψ ist durch eine Ortswellenfunktion \psi(\mathbf{x}) gegeben. Die Ortsoperatoren \hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator  \hat{x}_j wirkt auf Ortswellenfunktionen ψ(x) durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion xj
(\hat{x}_j\, \psi)(\mathbf{x})= x_j\, \psi(\mathbf{x})\,.

Der Erwartungswert ist

E(\hat{x}_j)=\langle \Psi|\hat{x}_j|\Psi\rangle=
\int \overline{\psi(\mathbf{x})}\,x_j\, \psi(\mathbf{x})\, \mathrm d^3 x\,.

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator

\bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)=-\mathrm i\, \hbar\,\bigl(\frac{\partial}{\partial x_k} \psi \bigr)(\mathbf x)\,.
  • In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen \tilde{\psi}(\mathbf{p})
(\hat{p}_k\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=p_k\,\tilde{\psi}(\mathbf{p})

und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator

(\hat{x}_j\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=\mathrm i\, \hbar\,\frac{\partial}
{\partial p_j}\tilde{\psi}(\mathbf{p})\,.

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