Phasengang

Phasengang

Der Phasengang, der auch Phasenfrequenzgang oder Phasenmaß heißt, englisch: phase response, wird meistens im Zusammenhang mit dem Amplitudengang oder Amplitudenfrequenzgang betrachtet.

Beispiel eines Phasengangs eines Tiefpasses

Aus der Phasenverschiebung lässt sich über eine Ableitung nach der Frequenz die Gruppenlaufzeit errechnen, die anschaulich gesprochen die frequenzabhängige Signalverzögerung beschreibt.

Amplituden- und Phasengang, zeigen in der Darstellung der Frequenzebene in einem Signal oder frequenzsensitiven System die Abhängigkeit der Amplitude und der Phase von der Frequenz (Amplituden- und Phasendiagramm).

Beide Größen als Graph dargestellt bezeichnet man auch als Amplitudengang (Betragsfrequenzgang) bzw. Phasengang (Phasenfrequenzgang), in Kombination auch Bode-Diagramm genannt. Werden beide Informationen zu einer komplexen Funktion zusammengefasst, spricht man auch vom komplexen Frequenzgang.

Inhaltsverzeichnis

Messtechnische Einschränkungen

In der Messtechnik wird zum Aufnehmen des Phasengang üblicherweise ein kontinuierliches Sinussignal verwendet, was dazu führt, dass Phasenverschiebungen nur im Bereich von ±180° bzw. ±π gemessen werden können. Aus einem messtechnisch aufgenommenen Phasengang lässt sich daher nur bedingt die Gruppenlaufzeit ableiten.

Theorie

Zunächst trennt man die Übertragungsfunktion eines kausalen, linearen, zeitinvarianten Systems nach Real- und Imaginärteil auf:


\mathcal {}H(\mathrm{j}\omega)=M(\omega)+\mathrm{j}N(\omega)

In einem zweiten Schritt benötigt man das Übertragungsmaß


\mathcal {}\Gamma(\omega) = A(\omega)+\mathrm{j}B(\omega)
,

das mit der Übertragungsfunktion durch folgende Gleichung zusammenhängt:



H(j\omega) = e^{-\Gamma} = e^{-(A(\omega)+\mathrm{j}B(\omega))} = e^{-A(\omega)}\cdot e^{-\mathrm{j}B(\omega)}


Der zweite Faktor, \mathcal {}e^{-jB(\omega)}, ist hierbei der Phasenterm, dementsprechend ist das \mathcal {}B(\omega) die Phase in Abhängigkeit von der Frequenz und stellt den Phasengang dar.

Führt man nun die Phase \mathcal {}B(\omega) auf die ursprüngliche Übertragungsfunktion zurück, ergibt sich


B(\omega) = -\arctan{\frac{N(\omega)}{M(\omega)}}

Die Nicht-Eindeutigkeit der Arkustangens-Funktion führt zu den in den oberen Abschnitten beschriebenen Einschränkungen (Wertebereich nur \mathcal {}-\pi bis \mathcal {}\pi).

Problematisch sind diejenigen Stellen, an denen die Übertragungsfunktion \mathcal {}H(j\omega) Null- oder Polstellen aufweist, da sich durch

\mathcal {}\Gamma = - ln{H(\mathrm{j}\omega)}

für \mathcal {}\Gamma dort dann Singularitäten ergeben.

Um die Phase nun bestimmen zu können, ist es sinnvoll, vom Fourier-Bereich in den Laplace-Bereich (s-Ebene) zu wechseln (vgl. Laplace-Transformation), also nicht nur die imaginäre Achse, sondern die komplette komplexe Frequenzebene zu betrachten. Eine erste Forderung, die benötigt wird, um den Phasenverlauf bestimmen zu können ist


\mathcal {}\Gamma(0) = 0

Damit ist ein Startwert festgelegt, um die Nicht-Eindeutigkeit der Phase (\mathcal {}\pm 2\pi) zu umgehen. Um den Phasenverlauf nun tatsächlich bestimmen zu können, läuft man in der s-Ebene entlang der imaginären Achse ausgehend vom Ursprung zu den positiven Frequenzen und vom Ursprung aus in Richtung der negativen Frequenzen und umgeht dabei die Pol- und Nullstellen durch halbkreisförmige „Einbuchtungen“ in die rechte Halbebene.

Erklärung anhand eines Beispiels: n-fache Nullstelle von \mathcal {}H(s) bei \mathcal {}s = \mathrm{j}\omega_0.

Taylor-Entwicklung in der Nähe der Nullstelle, Abbruch nach dem ersten Glied:


\mathcal {}H(s) = (s-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)}

wobei \mathcal {}H^{(n)} den Wert der n-ten Ableitung an der Stelle \mathcal {}\mathrm{j}\omega_0 meint.


Halbkreisförmige Einbuchtung: Radius \mathcal {}\rho, Winkel \mathcal {}\theta = [-\tfrac{\pi}{2} \ldots \tfrac{\pi}{2}]


\mathcal {}s = \mathrm{j}\omega_0+\rho e^{\mathrm{j}\theta}

folgt:


\mathcal {}H(s)(s-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} = (\mathrm{j}\omega_0+\rho e^{\mathrm{j}\theta}-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} = \rho^nH^{(n)}e^{\mathrm{j}n\theta}

und demnach:


\mathcal {}\Gamma(\omega) = -\ln{H(s)}=-\ln(\rho^nH^{(n)}e^{\mathrm{j}n\theta})=-n\ln{\rho}-\ln {H^{(n)}}-\mathrm{j}n\theta

für die Phase gilt nun:


\mathcal {}B(\omega) = \arg(H^{(n)})-n\theta


Da sich \mathcal {}\theta entlang dieser Einbuchtung um \mathcal {}\pi ändert, ändert sich die Phase insgesamt um \mathcal {}-n\cdot \pi.

Bei einer Polstelle ergeben sich die umgekehrten Vorzeichenverhältnisse, die Phase nimmt um \mathcal {}n\cdot \pi zu.

Literatur

  • Alfred Fettweis: Elemente nachrichtentechnischer Systeme. 2. Auflage. J.Schlembach Fachverlag, Wilburgstetten 2004, ISBN 3-935340-41-9.
  • Gert Hagmann: Grundlagen der Elektrotechnik. 6. Auflage. AULA-Verlag GmbH, Wiesbaden 1997, ISBN 3-89104-614-6.
  • Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro- Techniker Band 2. 13. Auflage. Hüthig und Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg 1981, ISBN 3-7785-0699-4.

Siehe auch

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Phasengang — Phasengang,   Physik und Technik: Frequenzgang …   Universal-Lexikon

  • Phasengang — fazinė charakteristika statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. phase characteristic; phase response vok. Phasenantwort, f; Phasengang, m; Phasenkennlinie, f rus. фазовая характеристика, f pranc. caractéristique de phase, f; réponse de… …   Automatikos terminų žodynas

  • Phasengang — dažninė fazės charakteristika statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. phase frequency characteristic; phase shift/frequency characteristic vok. Phasenfrequenzgang, m; Phasenfrequenzkennlinie, f; Phasengang, m rus. фазочастотная характеристика …   Fizikos terminų žodynas

  • Amplitudenfrequenzgang — Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems in Abhängigkeit von der Frequenz; etwa bei einem Lautsprecher oder einem Filter in der Analogtechnik. Er ist eine komplexe Funktion der Frequenz. Bode Diagramm PT1… …   Deutsch Wikipedia

  • Amplitudengang — Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems in Abhängigkeit von der Frequenz; etwa bei einem Lautsprecher oder einem Filter in der Analogtechnik. Er ist eine komplexe Funktion der Frequenz. Bode Diagramm PT1… …   Deutsch Wikipedia

  • Frequenzkurve — Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems in Abhängigkeit von der Frequenz; etwa bei einem Lautsprecher oder einem Filter in der Analogtechnik. Er ist eine komplexe Funktion der Frequenz. Bode Diagramm PT1… …   Deutsch Wikipedia

  • Gruppenlaufzeit — In der Nachrichtentechnik wird die Zeitverzögerung, die ein schmalbandiges Signal bei Durchleitung in einem Übertragungssystem erfährt, als Gruppenlaufzeit bezeichnet; engl.: group delay time oder kurz group delay. Die Bezeichnung Gruppe ist in… …   Deutsch Wikipedia

  • Phasenfrequenzgang — Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems in Abhängigkeit von der Frequenz; etwa bei einem Lautsprecher oder einem Filter in der Analogtechnik. Er ist eine komplexe Funktion der Frequenz. Bode Diagramm PT1… …   Deutsch Wikipedia

  • Bodediagramm — Das Bode Diagramm (nach Hendrik Wade Bode) ist ein spezieller Funktionsgraph und besteht aus einem Graph für den Betrag (die Amplitudenverstärkung) und einem für das Argument (die Phasenverschiebung) einer komplexen Übertragungsfunktion. Bode… …   Deutsch Wikipedia

  • Frequenzantwort — Das Bode Diagramm (nach Hendrik Wade Bode) ist ein spezieller Funktionsgraph und besteht aus einem Graph für den Betrag (die Amplitudenverstärkung) und einem für das Argument (die Phasenverschiebung) einer komplexen Übertragungsfunktion. Bode… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”