Poincaré-Abbildung


Poincaré-Abbildung
Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach S.

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche Σ, dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte x den jeweils nächsten P(x) zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamischen Systems.

Inhaltsverzeichnis

Beispiel

Poincaré-Schnitt für eine periodische Trajektorie γ

Betrachte die Differentialgleichung \dot{x}(t)=f(x(t)) und bezeichne mit Φ(t,x) den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung Φ(0,x) = x. Angenommen es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung Φ(t,p) die bei p startet und nach einer bestimmten Zeit τ wieder dorthin zurückkehrt, Φ(τ,p) = p. Dann kann man eine Fläche Σ die transversal zur Trajektorie Φ(t,p) ist und diese in p schneidet wählen. Alle Punkte x\in \Sigma die in der Nähe von p starten werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit τ(x) für die \Phi(\tau(x),x)\in\Sigma gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch P(x) = Φ(τ(x),x). Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: P(p) = p. Die Frage ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

Anwendung

Die Poincaré-Abbildung ist besonders zur Untersuchung der geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, da die zeitliche Diskretisierung eine wesentliche Vereinfachung darstellt.[1]

Literatur

Einzelnachweise

  1. Manfred von Ardenne et. al.: Effekte der Physik und ihre Anwendungen. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt 2005. ISBN 3-8171-1682-9 S. 1130

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