Poisson-Klammer (klassische Mechanik)


Poisson-Klammer (klassische Mechanik)

Die Poisson-Klammer (nach Siméon Denis Poisson) ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist definiert als

\left \{ f,g \right \} := \sum_{k=1}^{s}{\left ( \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k} - \frac{\partial f}{\partial p_k} \frac{\partial g}{\partial q_k} \right )},

wobei f und g Funktionen sind. Hierbei sind die qk die generalisierten Koordinaten, pk die kanonisch konjugierten Impulse und s die Anzahl der Freiheitsgrade.

Inhaltsverzeichnis

Herleitung

Der Einfachheit halber verwenden wir Vektorschreibweise

q_1,q_2,...,q_s \rightarrow \mathbf{q}

sowie

p_1,p_2,...,p_s \rightarrow \mathbf{p}.

Zudem verwenden wir bei den partiellen Ableitungen die vektorielle Notation mit einem Skalarprodukt im s-dimensionalen Raum, also etwa

\sum^s_{k=1}\frac{\partial H}{\partial q_k} \dot q_k=\nabla_{\mathbf{q}}H \cdot \dot\mathbf{q},

wobei H die Hamilton-Funktion des Systems ist. Mit diesen Vereinfachungen wird die Zeitableitung einer beliebigen Observablen f(\mathbf{q},\mathbf{p},t) zu

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\nabla_{\mathbf{q}}f \cdot \dot\mathbf{q}+\nabla_{\mathbf{p}}f \cdot \dot\mathbf{p}+\frac{\partial f}{\partial t}.

Benutzen wir nun die Hamilton'schen Gleichungen in vektorieller Form,

\dot\mathbf{q}=\nabla_{\mathbf{p}}H
\dot\mathbf{p}=-\nabla_{\mathbf{q}}H

so erhalten wir damit

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\nabla_{\mathbf{q}}f \cdot \nabla_{\mathbf{p}}H-\nabla_{\mathbf{p}}f \cdot \nabla_{\mathbf{q}}H+\frac{\partial f}{\partial t}=\{f,H\}_{\mathbf{qp}} + \frac{\partial f}{\partial t}=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}-\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial H}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}

Man definiert also die Poisson-Klammer allgemein als

\{F,G\}_{\mathbf{ab}}:=\nabla_{\mathbf{a}}F \cdot \nabla_{\mathbf{b}}G-\nabla_{\mathbf{b}}F \cdot \nabla_{\mathbf{a}}G=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial F}{\partial a_k}\frac{\partial G}{\partial b_k}-\frac{\partial F}{\partial b_k}\frac{\partial G}{\partial a_k}\right)

Eigenschaften

  • Antisymmetrie
\{f,g\}=-\{g,f\} \Rightarrow \{f,f\}=0
  • Bilinearität
\,\{c_1 f_1+c_2 f_2,g\}=c_1 \{f_1,g\}+ c_2 \{f_2,g\}
  • Produktregel
\,\{f,gh\}=h\{f,g\}+g\{f,h\}
\,\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0
  • Invarianz

Physikalisch liegt es nahe anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte. Damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien (\mathbf{q},\mathbf{p}) und (\mathbf{Q},\mathbf{P}) zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt

\{f,g\}_{\mathbf{qp}}=\{f,g\}_{\mathbf{QP}}=\{f,g\}.

Der Beweis für die Invarianzeigenschaft ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

\left \{ q_k, p_l \right \} = \delta_{kl}
\left \{ q_k, q_l \right \} = 0
\left \{ p_k, p_l \right \} = 0

welche einfach aus den trivialen Beziehungen

\frac{\partial q_k}{\partial p_l}=0
\frac{\partial p_k}{\partial q_l}=0
\frac{\partial p_k}{\partial p_l}=\delta_{kl}

folgen.

Dabei ist δkl das Kronecker-Delta.

Anwendung

  • Die Poisson-Klammer kann dazu benutzt werden, um die zeitliche Änderung von Observablen durch die Dynamik des Systems zu bestimmen. Es gilt für eine Observable f(\mathbf{q},\mathbf{p},t)
 \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t},
  • Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable f(\mathbf{q},\mathbf{p}) ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn
 0=\{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t}
gilt. Ist f nicht explizit zeitabhängig, wird daraus
 \,0=\{f,H\}
 \dot{\rho}=\{H,\rho\}.
  • Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Liealgebra.

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Poisson-Klammer — Die Poisson Klammer (nach Siméon Denis Poisson) ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist definiert als wobei f und g Funktionen sind. Hierbei sind die qk die generalisierten Koordinaten …   Deutsch Wikipedia

  • Ehrenfestsches Theorem — Das Ehrenfest Theorem, benannt nach dem österreichischen Physiker Paul Ehrenfest, stellt innerhalb der Physik einen Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik her. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen die… …   Deutsch Wikipedia

  • Ehrenfesttheorem — Das Ehrenfest Theorem, benannt nach dem österreichischen Physiker Paul Ehrenfest, stellt innerhalb der Physik einen Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik her. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen die… …   Deutsch Wikipedia

  • Hamilton-Formalismus — Die hamiltonsche Mechanik ist ein Teilgebiet der klassischen Mechanik. Sie untersucht die Bewegung im Phasenraum. Dabei handelt es sich um die Menge der Paare von Orts und Impulswerten, die man bei dem betrachteten System von Teilchen anfänglich… …   Deutsch Wikipedia

  • Hamilton-Gleichung — Die hamiltonsche Mechanik ist ein Teilgebiet der klassischen Mechanik. Sie untersucht die Bewegung im Phasenraum. Dabei handelt es sich um die Menge der Paare von Orts und Impulswerten, die man bei dem betrachteten System von Teilchen anfänglich… …   Deutsch Wikipedia

  • Hamiltonformalismus — Die hamiltonsche Mechanik ist ein Teilgebiet der klassischen Mechanik. Sie untersucht die Bewegung im Phasenraum. Dabei handelt es sich um die Menge der Paare von Orts und Impulswerten, die man bei dem betrachteten System von Teilchen anfänglich… …   Deutsch Wikipedia

  • Hamiltonsche Bewegungsgleichung — Die hamiltonsche Mechanik ist ein Teilgebiet der klassischen Mechanik. Sie untersucht die Bewegung im Phasenraum. Dabei handelt es sich um die Menge der Paare von Orts und Impulswerten, die man bei dem betrachteten System von Teilchen anfänglich… …   Deutsch Wikipedia

  • Hamiltonsche Gleichungen — Die hamiltonsche Mechanik ist ein Teilgebiet der klassischen Mechanik. Sie untersucht die Bewegung im Phasenraum. Dabei handelt es sich um die Menge der Paare von Orts und Impulswerten, die man bei dem betrachteten System von Teilchen anfänglich… …   Deutsch Wikipedia

  • Symplektische Mannigfaltigkeit — Die symplektische Mannigfaltigkeit ist das zentrale Objekt der symplektischen Geometrie einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Die symplektischen Mannigfaltigkeiten haben eine sehr starke Beziehung zur Theoretischen Physik.… …   Deutsch Wikipedia

  • Ehrenfest-Theorem — Das Ehrenfest Theorem, benannt nach dem österreichischen Physiker Paul Ehrenfest, stellt innerhalb der Physik einen Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik her. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen die… …   Deutsch Wikipedia