Primfaktorzerlegung

Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie. Sie ist Gegenstand des Fundamentalsatzes der Arithmetik. Es ist bisher kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen Zahl zu erhalten.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Sei n eine natürliche Zahl. Eine Zahl p heißt Primfaktor von n,

wenn p ein Teiler von n ist und
p eine Primzahl ist.

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung der Zahl n als Produkt ihrer Primfaktoren:

n = p_1 \cdot \ldots \cdot p_N = \prod_{k=1}^{N}p_k.

Da die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, ist die Reihenfolge der Primfaktoren aus Sicht der Zahlentheorie unwichtig. Da Eins keine Primzahl ist, hat sie auch keinen Primfaktor. Ihre Primfaktorzerlegung kann als leeres Produkt betrachtet werden. Wenn n selbst eine Primzahl ist, so ist es gleichzeitig selbst sein einziger Primfaktor. Gibt es mehr als einen Primfaktor, so wird n zusammengesetzte Zahl genannt. Die Null ist niemals Teil der multiplikativen Gruppe und wird von solchen Betrachtungen ausgeschlossen.

Mehrfach auftretende Primfaktoren können mittels Exponenten-Schreibweise zusammengefasst werden. Sind die Primfaktoren aufsteigend geordnet, spricht man auch von der kanonischen Primfaktorzerlegung:

n=p_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot p_M^{e_M} = \prod_{k=1}^{M} p_k^{e_k}, wenn unter den N Primfaktoren M verschiedene sind.

Den Exponenten ek > 0 eines Primfaktors pk nennt man auch „Vielfachheit von pk in n“ oder „pk-Bewertung von n“. Er gibt an, wie oft n durch pk teilbar ist.

Beispiele für Primfaktorzerlegungen

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5
37 = 37 \ (Primzahl)
1024 = 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^{10} (Zweierpotenz)
6936 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 17, mit der kanonischen Darstellung 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2

Fundamentalsatz der Arithmetik

Die Aussagen für Existenz der Primfaktorzerlegung für jede natürliche Zahl und deren Eindeutigkeit in der kanonischen Darstellung sind der Fundamentalsatz der Arithmetik. Beide Aussagen werden getrennt formuliert und bewiesen. Die Beweise sind zahlentheoretisch elementar, werden klassisch als Widerspruchsbeweis formuliert und nutzen die Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Zum ersten Mal vollständig und korrekt bewiesen findet sich der Fundamentalsatz der Arithmetik in den Disquisitiones Arithmeticae von Carl Friedrich Gauß. Er war aber bereits — wenn auch in leicht abgewandelter Form — Euklid bekannt.

Beweis der Existenz

Der Eins wird das leere Produkt zugeordnet und jede Primzahl stellt selbst ihre Primfaktorzerlegung dar. Damit bleibt zu zeigen, dass alle restlichen natürlichen Zahlen tatsächlich aus Primfaktoren zusammengesetzt sind.

Angenommen, es gibt Zahlen, die sich nicht als Produkt von Primzahlen darstellen lassen, dann gibt es auch eine kleinste solche Zahl (genannt n), aufgrund der Wohlordnung von \N. Da n dann weder die Eins noch eine Primzahl ist, besitzt es einen Teiler, damit existieren zwei natürliche Zahlen a,b mit ab = n und beide sind größer als Eins und kleiner als n. Da n die kleinste Zahl ist die kein Produkt von Primfaktoren ist, müssen a und b also Primfaktorzerlegungen haben, etwa a = Πpi und b = Πqj. Dann ist aber \Pi p_i \cdot \Pi q_j auch eine Primfaktorzerlegung von n, im Widerspruch zur Annahme.

Beweis der Eindeutigkeit

Angenommen, es gibt natürliche Zahlen mit jeweils mehreren unterschiedlichen Zerlegungen, dann auch wieder eine kleinste, genannt n. Dies kann keine Primzahl sein und zwei Zerlegungen von n können keinen gemeinsamen Primfaktor p enthalten, da dann auch n / p zwei verschiedene Zerlegungen hätte und kleiner als n wäre, im Widerspruch zur Annahme, dass n minimal ist. Es gilt also etwa n = p \cdot a= q \cdot b, wobei p und q Primzahlen sind und es gilt p \neq q, a\neq b. Das abschließende Argument ist das Lemma von Euklid: Teilt eine Primzahl ein Produkt, so auch einen der Faktoren. Da n durch p teilbar ist, muss einer der Faktoren der anderen Zerlegung durch p teilbar sein und das ist b, denn q ist prim. Also taucht ein beliebiger Primfaktor stets in beiden Zerlegungen auf und damit sind sie identisch.

Eigenschaften

Verallgemeinerung

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Primzahlen zu verallgemeinern. Die bekannteste Anwendung sind die ganzen Zahlen, Primzahlen können dort auch ein negatives Vorzeichen haben. Andererseits ist dies schon ein spezielles Beispiel, da auch dort die Primfaktorzerlegung „bis auf Vorzeichen und Reihenfolge“ eindeutig ist.

Ein allgemeiner Ansatz verlangt mindestens einen Begriff der Teilbarkeit innerhalb der mathematischen Struktur. David Hilbert bewies, dass für die gewünschte Eindeutigkeit eine additive Struktur zwingend notwendig ist. Üblicherweise wird von einem kommutativen Ring mit Eins ausgegangen, dort können Primelemente definiert werden, (für die dann Euklids Lemma gilt), ist der Ring auch noch nullteilerfrei (also ein Integritätsring), kann es zusätzlich irreduzible Elemente geben, die nicht prim genannt werden können. Sie werden anders definiert, sind aber trotzdem unzerlegbar und enthalten die Primelemente als Teilmenge.

Für einen Ring R ist eine Zerlegung in Primelemente einer Zahl a\in R\setminus\{0\} eine Darstellung der Form a=ep_1^{l_1}p_2^{l_2}\dots p_n^{l_n}. Dabei ist e eine Einheit, n\in\mathbb{N}_0, p_i\in R paarweise verschiedene Primelemente und l_i\in \mathbb{N} Vielfachheiten. In jedem Ring mit 1 gibt es für jedes von Null verschiedene Element so eine Darstellung. In Hauptidealringen (wie die Polynomringe über Körpern) und euklidischen Ringen (wie \mathbb{Z}) kann man zeigen, dass diese Zerlegung bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten eindeutig ist.

In allgemeinen Integritätsringen ist das nicht immer so. Man muss deren Eindeutigkeit explizit fordern, was zur Definition von faktoriellen Ringen führt. Mit dieser Forderung lässt sich dann aber dort auch schon die Äquivalenz von irreduzibel und prim folgern: Faktorielle Ringe sind ZPE-Ringe. Ein etwas anderer Ansatz wird mit Primidealen verfolgt.

Es gilt dann die Kette von echten Implikationen für Ringe:

\mbox{Integritätsring}\Leftarrow\mbox{Faktoriell}\Leftarrow \mbox{Hauptideal} \Leftarrow\mbox{Euklidisch}

Beispiele

Auch auf dem Dreiecksgitter der Eisenstein-Zahlen existiert für jeden Gitterpunkt eine Primfaktorzerlegung

Praktische Anwendung

Aus der Primfaktorenzerlegung lässt sich erkennen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV und der größte gemeinsame Teiler ggT können leicht aus der Primfaktorenzerlegung bestimmt werden. In der Bruchrechnung können Brüche durch den ggT von Zähler und Nenner gekürzt werden, und zwei Brüche können auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erweitert werden, um leichter addieren oder subtrahieren zu können.

Kryptographie

Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der Kryptographie. Verschlüsselungssysteme wie RSA basieren darauf, dass kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt ist. So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500-stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 999-stelligen oder 1000-stelligen Produkt dagegen sehr lange Zeit dauern. Primzahlen werden auch bei der Programmierung von Hashtabellen verwendet.

Literatur

  • Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1996, ISBN 3-528-07286-5.

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Primfaktorzerlegung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Fußnoten

  1. Thomas Kantke: Billige und teure Zahlen. In: Spektrum der Wissenschaft - SPEZIAL: Omega. Nr. 4/2003, Spektrum der Wissenschaft, Heidelberg 2003, S. 68-74.
  2. Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1996, ISBN 3-528-07286-5, S. 72, 37.

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