Primzahl n-ter Ordnung


Primzahl n-ter Ordnung

Eine n-Fastprimzahl oder auch Primzahl n-ter Ordnung ist eine natürliche Zahl, deren Primfaktorzerlegung aus genau n (\in \Bbb N) Primzahlen besteht, wobei mehrfache Primteiler entsprechend oft gezählt werden. Insbesondere sind n-Fastprimzahlen für n\geq 2 keine Primzahlen. Der Norweger Viggo Brun führte den Begriff um 1915 zur Verallgemeinerung von Primzahlen ein, um einen neuen Ansatz für ungelöste Primzahlprobleme zu finden.[1]

Dieses Konzept kann problemlos auf die ganzen Zahlen und beliebige ZPE-Ringe verallgemeinert werden.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei z \in \Bbb N \setminus \{0\} und z = \prod_{i=1}^k{p_i}^{e_i} mit Primzahlen {p_1}, \ldots, {p_k}. Dann heißt z Primzahl n-ter Ordnung, wobei n=\sum_{i=1}^{k}{e_i} gilt. Die Zahlenfolge für ein festes n wird auch mit Pn bezeichnet[2]. Die Wohldefiniertheit folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für alle natürlichen Zahlen.

Eigenschaften

  • Jede Primzahl ist eine Primzahl der Ordnung 1, jede zusammengesetzte Zahl ist eine Primzahl der Ordnung 2 oder höher. Primzahlen der Ordnung 3 nennt man auch sphenische Zahlen.
  • Die Vereinigung der Pn bilden eine Zerlegung der natürlichen Zahlen.
  • Jede Primzahl n-ter Ordnung lässt sich als Produkt von Primzahlen der Ordnungen k1,...,km schreiben mit \sum_{i=1}^{m}{k_i}=n. Für k1,...,km > 0 gibt es S(n,m) solcher möglichen Zerlegungen, wobei S(n,m) die Stirling-Zahlen zweiter Art bezeichnet. Insbesondere ist eine Primzahl zweiter Ordnung das Produkt zweier Primzahlen, was vor allem in der Kryptographie Anwendung findet.

Null und eins

Für die 0 gibt es keine mögliche Primfaktorzerlegung, sie ist keine Primzahl n-ter Ordnung.

Für die 1 bzw. -1 gibt es ebenfalls keine eindeutige Primfaktorzerlegung, da es Einheiten sind. Ihnen wird oft das leere Produkt zugewiesen, entsprechend können sie definitionskonform als Primzahl 0-ter Ordnung bezeichnet werden.

Beispiele

  • 91 = 7 \cdot 13 ist eine Primzahl zweiter Ordnung.
  • 324 = 2^2 \cdot 3^4 ist eine Primzahl sechster Ordnung.
  • -172 = -(2^2 \cdot 43) ist eine Primzahl dritter Ordnung.

Anwendungen

Die beiden folgenden Sätze wurden in der 1970er Jahren bewiesen:

  • Jede genügend große, natürliche, gerade Zahl lässt sich als die Summe einer Primzahl erster und einer Primzahl zweiter Ordnung darstellen. Diese Aussage ist vergleichbar mit der goldbachschen Vermutung.
  • Es gibt unendlich viele Primzahlen, die einen Abstand von 2 zu einer 2-Fastprimzahl haben. Dies ist vergleichbar mit der Vermutung über Primzahlzwillinge.

Einzelnachweise

  1. Wolfgang Blum: Goldbach und die Zwillinge. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 12/2008, Spektrum, Heidelberg Dezember 2008, S. 97. 
  2. Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde. Springer-Verlag 2006, Seite 219, ISBN 978-3540342830

Literatur

  • Władysław Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory. Springer-Verlag, Berlin, 2000, ISBN 3-540-66289-8.
  • Hans Riesel: Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Birkhäuser Verlag, 1987, ISBN 3-764-33291-3.
  • David M. Bressoud: Factorization and Primality Testing. Springer-Verlag, Berlin, 1989, ISBN 0-387-97040-1.
  • Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde. Springer-Verlag, 2006, ISBN 978-3540342830.

Weblinks


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