Proportionalität


Proportionalität

Proportionalität besteht zwischen zwei veränderlichen Größen, wenn sie immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen.

Inhaltsverzeichnis

Grundlagen der Proportionalität

Proportionale Größen sind verhältnisgleich, das heißt, bei proportionalen Größen ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der einen Größe stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der anderen Größe verbunden, oder allgemein gesagt: die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor (dem Verhältnis der beiden Größen, genannt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante) hervor.

Beispiele:

  • Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl π = 3,14159…
  • Bei einem Kauf ist der Betrag der Mehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (19 Prozent).
  • Die Masse einer Flüssigkeit ist proportional ihrem Volumen (siehe ausführliches Beispiel unten).

Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität bzw. streng genommen der Affinität (siehe Lineare Funktion). Linear ist in diesem Sinne jeder Zusammenhang zwischen zwei Größen, dessen Darstellung in x-y-Koordinaten eine Gerade ist; Proportionalität bedeutet, dass diese Gerade durch den Nullpunkt (Koordinatenursprung) geht.

Gegenteil der Proportionalität ist die Antiproportionalität (reziproke, inverse, umgekehrte oder indirekte Proportionalität). Dabei ist die eine Größe proportional dem Kehrwert der anderen Größe, statt des Verhältnisses ist hierbei also das Produkt der beiden Größen immer konstant.

Mathematische Definition

1. Geometrische Definition:

Euklid, Elemente Buch V, Definitionen 3-6. Definition 5 lautet: „Man sagt, dass Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfachung die Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind.“ Definition 6: „Und die dieses Verhältnis habenden Größen sollen in Proportion stehend heißen.“

2. Arithmetische Definition

Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten x und ihren Funktionswerten y, d. h. es gilt der Zusammenhang

y = m \cdot x.
Funktionsgraph für einen proportionalen Zusammenhang

Die Funktion ist dadurch gekennzeichnet, dass der Graph eine Gerade ist, die durch den Ursprung verläuft. Der Faktor m in der Gleichung, der Proportionalitätsfaktor, gibt die Geradensteigung an.

Die Tabelle gibt die Masse verschiedener Volumina von Öl an:

Volumen x in m3 Masse y in t
3 2,4
4 3,2
7 5,6

Die drei Wertepaare sind im Bild rechts als Punkte markiert. Berechnet man den Quotienten y/x, Masse/Volumen, so erhält man stets den gleichen Wert, 0,8 t/m3, die Dichte des Öls. Allgemein gibt der Quotient y/x die Steigung m der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung. Auch der umgekehrte Quotient ist eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall das spezifische Volumen. Im Beispiel erhält man Volumen/Masse = 1,25 m3/t, also wie viel Volumen eine Tonne des Öls einnimmt.

Den Kalkül zur Berechnung proportionaler Funktionen nennt man den Dreisatz (früher auch: Regeldetri).

Schreibweise

Für „a ist proportional zu b“ schreibt man gemäß DIN 1302:

a \sim b

Ebenfalls genormt ist die Schreibweise:

a \propto b

Ersteres Zeichen ist eine Tilde (HTML ∼/∼, TeX \sim, Unicode U+223C bzw. auch ASCII 126/U+007E), zweiteres »« (HTML ∝/∝, TEX \propto, Unicode U+221D) leitet sich aus dem mittelalterlichen »æ« für lat. aequalis, dem Vorgänger des Gleichheitszeichens ab (vgl. dort, Geschichte).

Verwandte Begriffe

Es wird von Überproportionalität zwischen zwei Größen gesprochen, wenn die eine sich immer stärker ändert als die andere. Entsprechend spricht man von Unterproportionalität bei einer systematisch schwächeren Änderung der anderen Größe. „Stärker“ und „schwächer“ bedeuten hierbei, wenn man es auf die Formulierung mit der Geradengleichung y = mxa mit einem Exponenten a bezieht, dass bei normaler Proportionalität a = 1, bei Überproportionalität a > 1 und bei Unterproportionalität a < 1 gilt.


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