Pushforward


Pushforward

Als Pushforward wird eine Abbildung zwischen Tangentialräumen glatter Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die die totale Ableitung im euklidischen Raum verallgemeinert.

Das duale Konzept heißt meist Rücktransport (Pullback).

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sind M und N glatte Mannigfaltigkeiten und ist F \colon M\rightarrow N eine glatte Abbildung, so definiert man den Pushforward

F_\ast\colon T_pM\rightarrow T_{F(p)}N

von F am Punkt p \in M durch

(F_*v)(f)=v(f\circ F)

für v \in T_p M und jede glatte Funktion f\in\mathcal{C}^{\infty}(N) auf der Mannigfaltigkeit N. Hierbei werden Tangentialvektoren als Richtungsableitungen (Derivationen) aufgefasst, vgl. Tangentialraum.

Auf diese Weise wird eine Abbildung F_\ast \colon TM \to TN definiert.

Bezeichnungen und Schreibweisen

Andere Bezeichnungen für den Pushforward sind Ableitung, Differential und Tangentialabbildung von F. Andere Schreibweisen sind F\,'(p)v, DFp(v), DpF(v), dFp(v), dpF(v) und TpF(v). Oft werden die Klammern um das Argument v auch weggelassen.

Bedeutung für Tangentialvektoren von Kurven

Ist v = \dot c(t) \in T_pM der Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve c: I \to M (hierbei ist I ein Intervall in \R) im Punkt p = c(t), so ist F_* v\, der Tangentialvektor der Bildkurve \tilde c = F \circ c : I \to N im Bildpunkt F(p) = \tilde c(t), also

F_* v = \dot{\tilde c}(t) = (F \circ c)^\cdot (t).

Darstellung in Koordinaten

Sind (x_1,\dots,x_m) lokale Koordinaten auf M um p und (y_1,\dots,y_n) lokale Koordinaten auf N um den Bildpunkt F(p) so haben die Vektoren v \in T_pM und w = F_* v \in T_{F(p)}N die Darstellungen

v= \sum_j v^j \, \frac{\partial}{\partial x^j} bzw. w= \sum_i w^i \, \frac{\partial}{\partial y^i}.

Wird weiter die Abbildung F\colon M \to N durch die Funktionen f^1(x_1,\dots,x_m),\dots,f^n(x_1,\dots,x_m) dargestellt, so gilt

w^i = \sum_j \frac{\partial f^i}{\partial x^j}\, v^j.

Pushforward im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall F \colon  \mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n vor, so stellt F_*\, nichts anderes als die totale Ableitung DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum identifiziert wird.

Oft wird der Tangentialraum T_p \R^m des euklidischen Raums \R^m im Punkt p \in \R^m mit \{p\} \times \R^m identifiziert, das Tangentialbündel T\R^m also mit \R^m \times \R^m. In diesem Fall ist der Pushforward die Abbildung F_\ast \colon (p,v) \mapsto (F(p), DF(p)(v)).

Eigenschaften

Für den Pushforward einer Verkettung G \circ F \colon M \to P zweier Abbildungen F\colon M \to N und G \colon N \to P gilt die Kettenregel:

(G \circ F)_\ast = G_ \ast \circ F_\ast

bzw. punktweise

(G \circ F)_{\ast p} = G_ {\ast F(p)} \circ F_{\ast p}.

Literatur

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1 (Graduate Texts in Mathematics 218).

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