Quadrupol


Quadrupol
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Skizze des Aufbaus eines elektrischen Quadrupols für den Spezialfall einer quadratischen Anordnung.
Die Ladung der roten Punkte beträgt +Q, die der blauen Punkte -Q.
Potential eines elektrischen Quadrupols.

Ein Quadrupol entsteht aus der nebenstehend dargestellten Anordnung zweier entgegengesetzt-gleicher Dipole mit beliebigem Abstandsvektor, typischerweise \vec a genannt.

Der elektrische Quadrupol besteht aus zwei positiv und zwei gleichstark negativ geladenen Teilchen, die zwei entgegengesetzt-gleiche Dipole bilden. Also befinden sich die vier Ladungen in alternierender Anordnung an den Ecken eines Parallelogramms (in der Regel sogar eines Quadrates). Mathematisch präzise wird die Definition durch einen als „Quadrupol-Limes“ bezeichneten Grenzwertprozess, bei welchem der Flächeninhalt des Parallelogramms gegen Null konvergiert, während gleichzeitig die Ladungsstärke der an den Ecken des Parallellograms befindlichen Ladungen divergiert, und zwar so, dass das Produkt konstant bleibt, etwa   \{\lim_{a\to 0;\, a^2 Q=\rm{konst.}}\dots\}\,, wobei die Konstante positiv sein soll.

Das Potential ergibt sich als Überlagerung (Superposition) der Dipolpotentiale ΦD mit entsprechenden Gewichtsfaktoren:

\begin{matrix}\phi_Q(\vec{r})&=& \phi_D\left(\vec{r}+\dfrac{\vec{a}}{2} \right) - \phi_D \left(\vec{r}-\dfrac{\vec{a}}{2}\right) \\ \ &=&\vec{a} \cdot \nabla \phi_D + \mathcal{O}(|\vec{a}|^3)
\end{matrix}

(Beim Übergang zur letzten Gleichung wurde die Taylorentwicklung benutzt und Terme der Größenordnung |\vec a|^3 vernachlässigt.)

Der magnetische Quadrupol besteht aus zwei entgegengesetzt gerichteten magnetischen Dipolen im Abstand \vec a. Eine technische Anwendung findet er als Fokussierungsmagnet in Teilchenbeschleunigern, mehr dazu unter Quadrupolmagnet. Eine weitere sehr geläufige Anwendung ist die selektive Trennung in einem MS-System, mehr dazu unter Massenspektrometrie. Ferner ist das Quadrupolmoment ein wichtiger Parameter von vielen Atomkernen, der zusammen mit der Kernspinresonanzspektroskopie in Festkörpern Aussagen über die lokale Geometrie des Atomkerns ermöglicht.

Allgemein kann einer beliebigen elektrischen Ladungs- oder Stromverteilung, sofern sie nicht bestimmte Symmetrien besitzt, in zweiter Ordnung ein Multipolmoment zugeordnet werden. Dazu wird das eigentliche Potential durch eine Taylorentwicklung genähert. Dabei ergibt sich in dieser Multipolentwicklung u.a. auch ein Quadrupolmoment.

Höhere Multipole

Analog können höhere Multipole behandelt werden, sog. Oktupole  beispielsweise durch alternierende Punktladungen auf den acht Ecken eines Parallelepipeds, z. B. eines Würfels der Kantenlänge a mit dem „Oktopol-Limes“  \{\lim_{a\to 0;\,a^3 Q=\rm{konst.}}\dots\} (oder allgemeiner: ein einziger 2l-Pol wird angenähert durch Überlagerung zweier verschobener 2(l-1)-Pole mit entgegengesetztem Vorzeichen).

Fachliteratur

  • Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4

Weblinks

 Commons: Quadrupoles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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