R0-Raum


R0-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind R0-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das R0-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Definition

Gegeben seien ein topologischer Raum X und zwei Punkte x und y in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, wenn x und y jeweils in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.

X heißt R0-Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein R0-Raum wird auch symmetrischer Raum genannt.

Eigenschaften

X sei ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

  • X ist ein R0-Raum.
  • Für jedes x in X enthält der Abschluss von {x} nur die Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
  • Jeder Elementarfilter zu x konvergiert nur gegen Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
  • Der Kolmogoroff-Quotient KQ(X) ist ein T1-Raum.

In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar

Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum.

Beispiel

\mathbb{Z} sei die Menge der ganzen Zahlen. Für x \in \mathbb{Z} sei Gx definiert durch G_x = X\setminus\{x,x+1\} für gerades x und G_x = X\setminus\{x-1,x\} für ungerades x. Durchläuft A die endlichen Teilmengen von \mathbb{Z}, so bilden die Mengen U_A = \bigcap_{x\in A} G_x eine Basis einer Topologie. Wir erhalten einen R0-Raum, der kein Kolmogoroff-Raum (für ein gerades x sind x und x+1 topologisch nicht unterscheidbar) und somit auch kein T1-Raum ist.


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