Randbedingung

Randbedingung

Randbedingungen sind im Allgemeinen die Umstände, die nur mit großem Aufwand oder gar nicht beeinflussbar sind und daher als gegebene Größen bei Rechnungen verwendet werden müssen.

Inhaltsverzeichnis

Randbedingungen und Differentialgleichungen

Im Bereich der Differentialgleichungen sind Randbedingungen konkrete Angaben zum Berechnen der Lösungsfunktion u auf einer Definitionsmenge D. Dazu werden die Werte der Funktion auf dem Rand (im topologischen Sinn) des gewünschten Definitionsbereichs D vorgegeben. Im einfachsten Fall ist D = (a,b) ein Intervall und die Randbedingungen sind vorgegebene Funktionswerte u(a)=c_1;\;u(b)=c_2. Werden hier statt zwei Werten nur an einem Randpunkt des Intervalles – meistens a – Werte für u und zusätzlich für Ableitungen von u vorgegeben, spricht man von einem Anfangswertproblem und nennt die vorgegebenen Werte seine Anfangsbedingungen.

Bei partiellen Differentialgleichungen betrachtet man die Differentialgleichung meistens auf Sobolew-Räumen. In diesen Räumen werden Funktionen, die bis auf Nullmengen übereinstimmen, als gleich angesehen. Da der Rand eines Gebietes üblicherweise eine Nullmenge ist, ist der Begriff der Randbedingung problematisch. Lösungen für dieses Problem sind sobolewsche Einbettungssätze oder - allgemeiner - Spuroperatoren.

Randwertaufgaben haben nicht immer eine Lösung (siehe Beispiel), im Falle ihrer Existenz ist die Lösung nicht in allen Fällen eindeutig. Die Berechnung einer Näherungslösung für eine Randwertaufgabe mit Mitteln der numerischen Mathematik ist oft aufwändig und läuft meist auf die Lösung sehr großer Gleichungssysteme hinaus.

Beispiel

Sei die gegebene Differentialgleichung y''(x) = − y(x). Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist asin(x) + bcos(x).

  • Gesucht ist die Lösung mit y(0) = 1 und y(π / 2) = 0. \Rightarrow Die Lösung ist y = cos(x).
  • Gesucht ist die Lösung mit y(0) = 0 und y(π) = 0. \Rightarrow Es gibt unendlich viele Lösungen der Form asin(x) mit beliebigem a.
  • Gesucht ist die Lösung mit y(0) = 0 und y(2π) = 1. \RightarrowEs gibt keine Lösung.

Arten von Randbedingungen

Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, auf dem Rand des betrachteten Gebietes Werte vorzuschreiben. Eine Möglichkeit ist es, Werte der Lösung vorzuschreiben, dann spricht man von Dirichlet-Randbedingungen. Auf der anderen Seite kann man Bedingungen an die Ableitungen stellen, dann spricht man von Neumann-Randbedingungen (bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, wie oben ausgeführt, von Anfangsbedingungen). Ein Spezialfall sind periodische Randbedingungen.

Künstliche Randbedingungen

Bei unbeschränkten Gebieten erfordert die numerische Lösung üblicherweise eine Einschränkung des Gebiets. Hier sind dann Randbedingungen vorzugeben, die im eigentlichen Problem nicht vorhanden, also künstlich sind.

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

См. также в других словарях:

  • Randbedingung — kraštinė sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. boundary condition vok. Randbedingung, f rus. граничное условие, n; краевое условие, n pranc. condition à la frontière, f; condition aux limites, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Randbedingung — Tatsache; Rahmenbedingung; Umstand; Eigenschaft; Gegebenheit; Faktor * * * Rạnd|be|din|gung, die <meist Pl.>: vorgegebene, vorzufindende Bedingung, die bei etw. zu beachten ist …   Universal-Lexikon

  • Randbedingung — Rạnd|be|din|gung meist Plural …   Die deutsche Rechtschreibung

  • statische Randbedingung — Randbedingung für Kraftgrößen, z. B. Moment = null an einem Gelenk …   Erläuterung wichtiger Begriffe des Bauwesens

  • Dirichlet-Randbedingung — Als Dirichlet Randbedingung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) bezeichnet man im Zusammenhang mit Differentialgleichungen (genauer: Randwertproblemen) Werte, die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen… …   Deutsch Wikipedia

  • Neumann-Randbedingung — Eine Neumann Randbedingung (nach Carl Gottfried Neumann) bezeichnet im Zusammenhang mit Differentialgleichungen (genauer: Randwertproblemen) Werte, die auf dem Rand des Definitionsbereichs für die Normalableitung der Lösung vorgegeben werden.… …   Deutsch Wikipedia

  • adiabatische Randbedingung — adiabatinė kraštinė sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. adiabatic boundary condition vok. adiabatische Randbedingung, f rus. адиабатическое краевое условие, n pranc. condition limite adiabatique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • homogene Randbedingung — vienalytė kraštinė sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. homogeneous boundary condition vok. homogene Randbedingung, f rus. однородное граничное условие, n pranc. condition aux limites homogène, f …   Fizikos terminų žodynas

  • periodische Randbedingung — periodinė kraštinė sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. periodic boundary condition vok. periodische Randbedingung, f rus. периодическое граничное условие, n pranc. condition aux limites périodique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • inhomogene Randbedingung — nevienalytė kraštinė sąlyga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inhomogeneous boundary condition vok. inhomogene Randbedingung, f rus. неоднородное граничное условие, n pranc. condition limite inhomogène, f …   Fizikos terminų žodynas


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»